Calcule:
\lim _{x \rightarrow-2} \ln \left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to-2} \ln\left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão dentro do logaritmo é \left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}.
  • O ponto onde avaliamos o limite é x=-2.
  • Para que o logaritmo natural esteja bem definido (no reals), é preciso que a base \left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{x-2}} seja positiva; portanto devemos verificar de que lado em x=-2 a expressão faz sentido.

Passo 2

Análise do domínio e do sentido do limite:
  • Observe que 4-x^{2}>0 exatamente quando -2<x<2. Para x<-2 temos 4-x^{2}<0 (base negativa), o que torna a expressão potencialmente não real para expoente não inteiro. Logo a função só está definida numa vizinhança de -2 pela direita, isto é, para x\to-2^{+}.
  • Conclusão: o limite a considerar é o limite pela direita
\lim_{x\to-2^{+}} \ln\left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}.

Passo 3

Simplificação usando propriedades do logaritmo (isso é uma técnica padrão para esses limites):
  • Para a>0 e qualquer real b vale \ln\left(a^{b}\right)=b\ln a.
  • Aplicando isso à nossa expressão obtemos, para x onde a expressão está definida,
\ln\left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}=\frac{1}{x-2}\,\ln\!\big(4-x^{2}\big).
Portanto o limite pedido é
\lim_{x\to-2^{+}}\frac{\ln\!\big(4-x^{2}\big)}{x-2}.

Passo 4

Estudo do numerador e do denominador separadamente:
  • Quando x\to-2^{+} temos 4-x^{2}\to 0^{+}. Um fato importante sobre o logaritmo é que \ln(y)\to -\infty quando y\to 0^{+}. Assim
\ln\!\big(4-x^{2}\big)\xrightarrow[x\to-2^{+}]{} -\infty.
  • O denominador x-2 tem limite -4 quando x\to-2:
x-2 \xrightarrow[x\to-2]{} -4.
Portanto a razão tem forma \dfrac{-\infty}{-4}, que não é uma indeterminação: é infinito com sinal determinado.

Passo 5

Conclusão sobre o sinal e o valor do limite:
  • Se o numerador tende a -\infty e o denominador tende a um número finito não nulo c, então a razão tende a -\infty/c.
  • No nosso caso c=-4. Assim
\frac{\ln\!\big(4-x^{2}\big)}{x-2}\xrightarrow[x\to-2^{+}]{} \frac{-\infty}{-4}=+\infty.
  • Interpretação intuitiva: a base 4-x^{2} vai para zero positivo, o expoente 1/(x-2) tende a -\tfrac{1}{4}, então \left(4-x^{2}\right)^{1/(x-2)} comporta-se como 0^{\text{negativo}}=+\infty, e o logaritmo de algo que vai para +\infty também vai para +\infty.

Resposta

+\infty

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