Calcule \lim _{x \rightarrow \sqrt{5}^{-}} f(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{x\rightarrow \sqrt{5}^{-}} f(x). As informações fornecidas no enunciado que estou vendo são apenas:
  • O pedido: calcular \lim_{x\rightarrow \sqrt{5}^{-}} f(x).
  • Não há, porém, nenhuma definição ou expressão para a função f(x).
    Portanto, no enunciado não consta nem a fórmula de f, nem um gráfico, nem uma tabela de valores, nem uma definição por partes. Só há o ponto de interesse x=\sqrt{5} (e a indicação de aproximar pela esquerda).

Passo 2

O que significa \lim_{x\rightarrow \sqrt{5}^{-}} f(x):
  • Por definição intuitiva, \lim_{x\rightarrow \sqrt{5}^{-}} f(x)=L significa que os valores de f(x) quando x se aproxima de \sqrt{5} por valores menores que \sqrt{5} (ou seja, x<\sqrt{5}) ficam arbitrariamente próximos de um número L.
  • Formalmente: dizemos que \lim_{x\rightarrow \sqrt{5}^{-}} f(x)=L se para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que sempre que 0<\sqrt{5}-x<\delta (ou seja, x\in(\sqrt{5}-\delta,\sqrt{5})) então |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Em linguagem de prova/estudo: estamos interessados no comportamento de f(x) em pontos x próximos de \sqrt{5} pelo lado esquerdo.

Passo 3

Quais informações são necessárias para calcular esse limite:
  • Uma expressão algébrica para f(x) válida em um intervalo que contenha valores menores que \sqrt{5}; ou
  • Um gráfico da função que permita ver o comportamento à esquerda de \sqrt{5}; ou
  • Uma tabela de valores de f(x) para x que se aproximem de \sqrt{5} pela esquerda; ou
  • Uma definição por partes que explique f próximo a \sqrt{5}.
    Sem qualquer uma dessas informações não é possível encontrar um valor numérico ou uma descrição do limite — porque o limite depende inteiramente de como f se comporta perto de \sqrt{5}.

Passo 4

Principais situações possíveis e como elas se detectam (resumo prático que ajuda na prova):
  • Se f é contínua em x=\sqrt{5}: então \lim_{x\to\sqrt{5}^-} f(x)=f(\sqrt{5}). Regra rápida: para funções polinomiais, racionais (quando denominador não zera) e radicais bem comportadas, basta substituir x=\sqrt{5}.
  • Se ao substituir aparece uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}: tente simplificar algébrica ou usar a regra de l’Hôpital (se as hipóteses forem válidas) ou fatorar/racionalizar.
  • Se aparece indeterminação \tfrac{\infty}{\infty}: a regra de l’Hôpital também pode ser aplicada quando válida.
  • Se o denominador tende a 0 e o numerador tende a um não zero finito: o limite lateral pode ser \pm\infty; o sinal depende do lado (a aproximação pela esquerda pode dar -\infty enquanto pela direita +\infty).
  • Se há salto (por definição por partes): o limite lateral pode ser o valor da parte aplicada para x<\sqrt{5}.
  • Se a função oscila cada vez mais próximo do ponto (ex.: f(x)=\sin(1/(x-\sqrt{5}))), o limite pode não existir.
    Essas são as decisões que se tomam na prova ao ver a expressão de f.

Passo 5

Técnicas concretas e quando usar (passo a passo aplicável na prova):
  • Substituição direta: tente calcular f(\sqrt{5}). Se a função for claramente contínua ali, pronto.
  • Fatoração: se surgir algo como \dfrac{x^2-5}{x-\sqrt{5}}, fator escrevendo x^2-5=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}) e cancele o fator comum para eliminar a indeterminação.
  • Racionalização: se aparecer \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{\sqrt{5}}}{x-\sqrt{5}} ou expressão com radicais, multiplicar por conjugado pode simplificar.
  • Regra de l’Hôpital: se ao calcular o limite pela esquerda a expressão reduz a 0/0 ou \infty/\infty e as funções são diferenciáveis num intervalo à esquerda de \sqrt{5}, então
\lim_{x\to\sqrt{5}^{-}}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to\sqrt{5}^{-}}\frac{g'(x)}{h'(x)}
quando o limite à direita existe ou é \pm\infty.
  • Squeeze (teorema do confronto): se souber encontrar duas funções que “prendem” f(x) e que têm o mesmo limite à esquerda, então f tem esse limite.
  • Analisar sinal e ordem: quando há potência ou raiz com domínio restrito, verifique se para x<\sqrt{5} a expressão é real e como muda de sinal.
    Sempre verificar hipóteses de cada técnica (domínio, diferenciabilidade, existência de vizinhança pelo lado esquerdo, etc.).

Passo 6

Exemplos resolvidos passo a passo (para treinar as técnicas):
Exemplo A (fácil, fatoração)
Se f(x)=\dfrac{x^2-5}{x-\sqrt{5}}\), então \[x^2-5=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}),
portanto para x\neq\sqrt{5}
f(x)=x+\sqrt{5}.
Assim
\lim_{x\rightarrow\sqrt{5}^{-}} f(x)=\lim_{x\rightarrow\sqrt{5}^{-}}(x+\sqrt{5})=\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}.
Comentário: aqui não há diferença entre limite pela esquerda e pela direita porque a expressão simplificada é contínua.
Exemplo B (assíntota infinita)
Se f(x)=\dfrac{1}{x-\sqrt{5}}, ao aproximar x\to\sqrt{5}^{-} temos x-\sqrt{5}<0 com módulo tendendo a 0, então
\lim_{x\rightarrow\sqrt{5}^{-}} \dfrac{1}{x-\sqrt{5}}=-\infty.
Comentário: o sinal negativo vem do fato de aproximarmos por valores menores que \sqrt{5}.
Exemplo C (peça por peça)
Se
f(x)=\begin{cases} x^2, & x<\sqrt{5},\\[4pt] 0, & x\ge\sqrt{5}, \end{cases}
então
\lim_{x\rightarrow\sqrt{5}^{-}} f(x)=\lim_{x\rightarrow\sqrt{5}^{-}} x^2=(\sqrt{5})^2=5.
Mesmo com valor diferente em x=\sqrt{5}\], o limite pela esquerda é \(5.
Exemplo D (oscila)
Se f(x)=\sin\!\big(\tfrac{1}{x-\sqrt{5}}\big) então não existe \lim_{x\rightarrow\sqrt{5}^{-}} f(x) porque os valores oscilam sem se aproximar de um único número.]

Passo 7

Como proceder na sua situação na prova:
  • Se o enunciado do seu exercício de prova trouxer a expressão de f: aplique as técnicas dos passos anteriores; comece por tentar substituição direta; se der indeterminação, fatorar/racionalizar; se ainda indeterminado, considere l’Hôpital (com cuidado); examine sinais para limites infinitos.
  • Se o enunciado trouxer gráfico ou tabela: leia o valor que a função se aproxima quando vindo da esquerda; para gráfico observe a abordagem da curva em x=\sqrt{5} pelo lado esquerdo.
  • Se o enunciado trouxer definição por partes: use a parte que se aplica a x<\sqrt{5} para obter o limite pela esquerda.

Passo 8

Conclusão específica para o enunciado recebido:
  • Não há como calcular numericamente \lim_{x\rightarrow \sqrt{5}^{-}} f(x) sem a definição ou informação sobre f. É exatamente a informação ausente que determina o valor do limite.
  • Se você me enviar a expressão de f(x), o gráfico ou a definição por partes, eu resolvo passo a passo como nas técnicas e exemplos acima — sem pular etapas e explicando direitinho.

Resposta

Não é possível calcular \lim_{x\rightarrow \sqrt{5}^{-}} f(x) porque a função f(x) não foi fornecida; falta a expressão, gráfico ou definição de f necessária para determinar o limite.

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