Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. As informações fornecidas no enunciado que estou vendo são apenas:
- O pedido: calcular
. - Não há, porém, nenhuma definição ou expressão para a função
.
Portanto, no enunciado não consta nem a fórmula de, nem um gráfico, nem uma tabela de valores, nem uma definição por partes. Só há o ponto de interesse (e a indicação de aproximar pela esquerda).
Passo 2
O que significa
:
- Por definição intuitiva,
significa que os valores de quando se aproxima de por valores menores que (ou seja, ) ficam arbitrariamente próximos de um número . - Formalmente: dizemos que
se para todo existe tal que sempre que (ou seja, ) então . - Em linguagem de prova/estudo: estamos interessados no comportamento de
em pontos próximos de pelo lado esquerdo.
Passo 3
Quais informações são necessárias para calcular esse limite:
- Uma expressão algébrica para
válida em um intervalo que contenha valores menores que ; ou - Um gráfico da função que permita ver o comportamento à esquerda de
; ou - Uma tabela de valores de
para que se aproximem de pela esquerda; ou - Uma definição por partes que explique
próximo a .
Sem qualquer uma dessas informações não é possível encontrar um valor numérico ou uma descrição do limite — porque o limite depende inteiramente de comose comporta perto de .
Passo 4
Principais situações possíveis e como elas se detectam (resumo prático que ajuda na prova):
- Se
é contínua em : então . Regra rápida: para funções polinomiais, racionais (quando denominador não zera) e radicais bem comportadas, basta substituir . - Se ao substituir aparece uma indeterminação do tipo
: tente simplificar algébrica ou usar a regra de l’Hôpital (se as hipóteses forem válidas) ou fatorar/racionalizar. - Se aparece indeterminação
: a regra de l’Hôpital também pode ser aplicada quando válida. - Se o denominador tende a
e o numerador tende a um não zero finito: o limite lateral pode ser ; o sinal depende do lado (a aproximação pela esquerda pode dar enquanto pela direita ). - Se há salto (por definição por partes): o limite lateral pode ser o valor da parte aplicada para
. - Se a função oscila cada vez mais próximo do ponto (ex.:
), o limite pode não existir.
Essas são as decisões que se tomam na prova ao ver a expressão de.
Passo 5
Técnicas concretas e quando usar (passo a passo aplicável na prova):
- Substituição direta: tente calcular
. Se a função for claramente contínua ali, pronto. - Fatoração: se surgir algo como
, fator escrevendo e cancele o fator comum para eliminar a indeterminação. - Racionalização: se aparecer
ou expressão com radicais, multiplicar por conjugado pode simplificar. - Regra de l’Hôpital: se ao calcular o limite pela esquerda a expressão reduz a
ou e as funções são diferenciáveis num intervalo à esquerda de , então
quando o limite à direita existe ou é
.
- Squeeze (teorema do confronto): se souber encontrar duas funções que “prendem”
e que têm o mesmo limite à esquerda, então tem esse limite. - Analisar sinal e ordem: quando há potência ou raiz com domínio restrito, verifique se para
a expressão é real e como muda de sinal.
Sempre verificar hipóteses de cada técnica (domínio, diferenciabilidade, existência de vizinhança pelo lado esquerdo, etc.).
Passo 6
Exemplos resolvidos passo a passo (para treinar as técnicas):
Exemplo A (fácil, fatoração)
Se
portanto para
Assim
Comentário: aqui não há diferença entre limite pela esquerda e pela direita porque a expressão simplificada é contínua.
Exemplo B (assíntota infinita)
Se , ao aproximar
temos
com módulo tendendo a
, então
Se
Comentário: o sinal negativo vem do fato de aproximarmos por valores menores que
.
Exemplo C (peça por peça)
Se
Se
então
Mesmo com valor diferente em
.
Exemplo D (oscila)
Se então não existe
porque os valores oscilam sem se aproximar de um único número.]
Se
Passo 7
Como proceder na sua situação na prova:
- Se o enunciado do seu exercício de prova trouxer a expressão de
: aplique as técnicas dos passos anteriores; comece por tentar substituição direta; se der indeterminação, fatorar/racionalizar; se ainda indeterminado, considere l’Hôpital (com cuidado); examine sinais para limites infinitos. - Se o enunciado trouxer gráfico ou tabela: leia o valor que a função se aproxima quando vindo da esquerda; para gráfico observe a abordagem da curva em
pelo lado esquerdo. - Se o enunciado trouxer definição por partes: use a parte que se aplica a
para obter o limite pela esquerda.
Passo 8
Conclusão específica para o enunciado recebido:
- Não há como calcular numericamente
sem a definição ou informação sobre . É exatamente a informação ausente que determina o valor do limite. - Se você me enviar a expressão de
, o gráfico ou a definição por partes, eu resolvo passo a passo como nas técnicas e exemplos acima — sem pular etapas e explicando direitinho.
Resposta
Não é possível calcular
porque a função
não foi fornecida; falta a expressão, gráfico ou definição de
necessária para determinar o limite.