Questão 3: Calcule os limites
1a) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{6}+2 x^{2}}{x^{4}+x^{2}+x}.
1e) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-e^{x}}{1+2 e^{x}}.
1i) \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x.
1b) \lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{3}{4-x}.
1f) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{3}{x-1}.
1j) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}-5}.
1c) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x}.
1 g) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{3 x}-e^{-3 x}}{e^{3 x}+e^{-3 x}}.
  1. \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}+2 x^{2}}{x^{3}+3 x^{2}+2}.
    1d) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{5}+13 x^{2}}{x^{6}-x^{2}+3 x}.
    1h) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}}{x}.
    1m) \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x}{(x-5)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários limites (vou listar cada um exatamente como veio). As perguntas são estas:
  • 1\text{a)}\\ \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{6}+2x^{2}}{x^{4}+x^{2}+x}.
  • 1\text{e)}\\ \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1-e^{x}}{1+2e^{x}}.
  • 1\text{i)}\\ \displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{9x^{2}+x}-3x.
  • 1\text{b)}\\ \displaystyle \lim_{x\to 4^{-}}\frac{3}{4-x}.
  • 1\text{f)}\\ \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{3}{x-1}.
  • 1\text{j)}\\ \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2e^{x}}{e^{x}-5}.
  • 1\text{c)}\\ \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x}.
  • 1\text{g)}\\ \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}}.
  • 1\\ \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+2x^{2}}{x^{3}+3x^{2}+2}. (está escrito “1)” no enunciado)
  • 1\text{d)}\\ \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{5}+13x^{2}}{x^{6}-x^{2}+3x}.
  • 1\text{h)}\\ \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}}{x}.
  • 1\text{m)}\\ \displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{x}{(x-5)^{2}}.
Informações relevantes dadas: são todas funções explícitas dos limites (polinômios racionais, expressões com exponencial, diferenças de raízes quadradas). Não há imagens nem dados adicionais. Vou calcular cada limite passo a passo e te explicar as técnicas usadas.

Passo 2

Técnica e resolução de 1\text{a)}: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{6}+2x^{2}}{x^{4}+x^{2}+x}.
  • Técnica: para limites de quocientes de polinômios quando x\to\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Uma forma sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (ou no numerador), para ver o comportamento assintótico.
  • Aqui o maior grau no denominador é x^{4}. Dividimos numerador e denominador por x^{4}:
\frac{x^{6}+2x^{2}}{x^{4}+x^{2}+x} = \frac{x^{6}/x^{4}+2x^{2}/x^{4}}{x^{4}/x^{4}+x^{2}/x^{4}+x/x^{4}} = \frac{x^{2}+2x^{-2}}{1+x^{-2}+x^{-3}}.
  • Quando x\to\infty, temos x^{-2}\to 0 e x^{-3}\to 0. Então o quociente tende a
\frac{x^{2}+0}{1+0+0}=x^{2}.
  • Como x^{2}\to\infty quando x\to\infty, concluímos que o limite é +\infty.

Passo 3

Resolução de 1\text{b)}: \displaystyle \lim_{x\to 4^{-}}\frac{3}{4-x}.
  • Técnica: aqui temos uma função racional com denominador que se anula em x=4. É um limite lateral (indicado o 4^{-}, ou seja, aproximação por valores menores que 4). Precisamos analisar o sinal do denominador quando x se aproxima de 4 pela esquerda.
  • Se x<4, então 4-x>0 e, ao aproximar x de 4 pela esquerda, 4-x é um número positivo muito pequeno (tende a 0^{+}).
  • Assim \dfrac{3}{4-x} tende a +\infty porque dividimos uma constante positiva por um número positivo cada vez menor.
  • Conclusão: o limite é +\infty.

Passo 4

Resolução de 1\text{c)}: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x}.
  • Técnica: diferença de raízes quadradas dividida por x — uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado para eliminar as raízes e simplificar.
  • Multiplico por \dfrac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}:
\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x} = \frac{(\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x})(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}{x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})} = \frac{(3+x)-(3-x)}{x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}.
  • O numerador simplifica:
(3+x)-(3-x)=2x.
  • Então a expressão vira
\frac{2x}{x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}=\frac{2}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}.
  • Agora fazemos x\to 0. Substituindo x=0 no denominador:
\sqrt{3+0}+\sqrt{3-0}=2\sqrt{3}.
  • Portanto o limite é
\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Resolução de 1\text{d)}: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{5}+13x^{2}}{x^{6}-x^{2}+3x}.
  • Técnica: novamente comparar graus dos polinômios. O numerador tem grau 5, o denominador tem grau 6. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite em infinito é 0.
  • Para visualizar, dividimos por x^{6}:
\frac{x^{5}+13x^{2}}{x^{6}-x^{2}+3x} = \frac{x^{-1}+13x^{-4}}{1-x^{-4}+3x^{-5}}.
  • Quando x\to\infty, todos os termos com potências negativas tendem a 0, logo o quociente tende a 0/1=0.
  • Conclusão: limite 0.

Passo 6

Resolução de 1\text{e)}: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1-e^{x}}{1+2e^{x}}.
  • Técnica: para expressões com exponenciais, fatorar por e^{x} (ou dividir numerador e denominador por e^{x}) mostra o comportamento quando x\to\infty.
  • Divido por e^{x}:
\frac{1-e^{x}}{1+2e^{x}} = \frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+2}.
  • Quando x\to\infty, temos e^{-x}\to 0. Então a expressão tende a
\frac{0-1}{0+2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.
  • Conclusão: limite -\dfrac{1}{2}.

Passo 7

Resolução de 1\text{f)}: \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{3}{x-1}.
  • Técnica: analisar limites laterais porque o denominador se anula em x=1.
  • Se x\to 1^{-} (pela esquerda), então x-1<0 e muito pequeno em módulo, então \dfrac{3}{x-1}\to -\infty.
  • Se x\to 1^{+} (pela direita), então x-1>0 e muito pequeno, então \dfrac{3}{x-1}\to +\infty.
  • Como os limites laterais não coincidem (um é -\infty e o outro é +\infty), o limite bilateral em x\to 1 não existe (diverge).
  • Conclusão: o limite não existe; lateral esquerdo é -\infty e lateral direito é +\infty.

Passo 8

Resolução de 1\text{g)}: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}}.
  • Técnica: fatorar por e^{3x} (o termo dominante quando x\to\infty).
  • Fatorando:
\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}} = \frac{e^{3x}\bigl(1-e^{-6x}\bigr)}{e^{3x}\bigl(1+e^{-6x}\bigr)} = \frac{1-e^{-6x}}{1+e^{-6x}}.
  • Quando x\to\infty, e^{-6x}\to 0. Assim
\frac{1-0}{1+0}=1.
  • Conclusão: limite 1.

Passo 9

Resolução de 1 (o enunciado que veio como “1)”): \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+2x^{2}}{x^{3}+3x^{2}+2}.
  • Primeiro simplificar o numerador: x^{2}+2x^{2}=3x^{2}. Então o limite é
\lim_{x\to -\infty}\frac{3x^{2}}{x^{3}+3x^{2}+2}.
  • Técnica: comparar graus. Numerador tem grau 2, denominador grau 3. Quando |x|\to\infty com grau do denominador maior, o quociente tende a 0.
  • Para ver o sinal, podemos dividir por x^{3}:
\frac{3x^{2}}{x^{3}+3x^{2}+2}=\frac{3x^{-1}}{1+3x^{-1}+2x^{-3}}.
  • Quando x\to -\infty temos x^{-1}\to 0, então a expressão tende a 0.
  • Conclusão: limite 0.

Passo 10

Resolução de 1\text{h)}: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}}{x}.
  • Esta é análoga ao item 1\text{c)}. Uso o conjugado:
\frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}}{x} = \frac{(\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x})(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x})}{x(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x})} = \frac{(5+x)-(5-x)}{x(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x})}.
  • O numerador é 2x, então simplifica para
\frac{2}{\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}}.
  • Fazendo x\to 0, o denominador vira 2\sqrt{5}. Logo o limite é
\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 11

Resolução de 1\text{i)}: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{9x^{2}+x}-3x.
  • Técnica: indeterminação do tipo \infty-\infty. O truque padrão é multiplicar por conjugado para obter uma expressão mais simples.
  • Considere multiplicar numerador e denominador por \sqrt{9x^{2}+x}+3x:
\sqrt{9x^{2}+x}-3x = \frac{(\sqrt{9x^{2}+x}-3x)\bigl(\sqrt{9x^{2}+x}+3x\bigr)}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} = \frac{9x^{2}+x-9x^{2}}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} = \frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}.
  • Agora divido numerador e denominador por x (note que x>0 para x\to\infty, então essa divisão é válida):
\frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} = \frac{1}{\sqrt{9+\dfrac{1}{x}}+3}.
  • Fazendo x\to\infty, \dfrac{1}{x}\to 0, então o denominador tende a \sqrt{9}+3=3+3=6.
  • Assim o limite é \dfrac{1}{6}.

Passo 12

Resolução de 1\text{j)}: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2e^{x}}{e^{x}-5}.
  • Técnica: fatorar e^{x} ou dividir por e^{x}:
\frac{2e^{x}}{e^{x}-5}=\frac{2}{1-5e^{-x}}.
  • Quando x\to\infty, e^{-x}\to 0, então o denominador tende a 1. Portanto o limite é 2.

Passo 13

Resolução de 1\text{m)}: \displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{x}{(x-5)^{2}}.
  • Técnica: analisar o comportamento do denominador quando se aproxima de 5. O denominador (x-5)^{2} é sempre não negativo e tende a 0 quando x\to 5. Em particular, (x-5)^{2}\to 0^{+} (sempre positivo, exceto exatamente em x=5).
  • O numerador tende a 5, um número positivo.
  • Assim estamos dividindo uma constante positiva por um número positivo que tende a 0, então a expressão tende a +\infty.
  • Conclusão: limite +\infty.

Resposta

+\infty
-\dfrac{1}{2}
\dfrac{1}{6}
+\infty
não existe (limite à esquerda =-\infty, à direita =+\infty)
2
\dfrac{1}{\sqrt{3}}
1
0
0
\dfrac{1}{\sqrt{5}}
+\infty

Exercícios relacionados