Questão 3: Calcule os limites
1a)
.
1e)
.
1i)
.
1b)
.
1f)
.
1j)
.
1c)
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1 g)
.
-
.
1d)
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1h)
.
1m)
.
1a)
1e)
1i)
1b)
1f)
1j)
1c)
1 g)
1d)
1h)
1m)
Passo 1
O enunciado pede para calcular vários limites (vou listar cada um exatamente como veio). As perguntas são estas:
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(está escrito “1)” no enunciado) -
-
-
Informações relevantes dadas: são todas funções explícitas dos limites (polinômios racionais, expressões com exponencial, diferenças de raízes quadradas). Não há imagens nem dados adicionais. Vou calcular cada limite passo a passo e te explicar as técnicas usadas.
Passo 2
Técnica e resolução de
:
- Técnica: para limites de quocientes de polinômios quando
, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Uma forma sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência de que aparece no denominador (ou no numerador), para ver o comportamento assintótico. - Aqui o maior grau no denominador é
. Dividimos numerador e denominador por :
- Quando
, temos e . Então o quociente tende a
- Como
quando , concluímos que o limite é .
Passo 3
Resolução de
:
- Técnica: aqui temos uma função racional com denominador que se anula em
. É um limite lateral (indicado o , ou seja, aproximação por valores menores que ). Precisamos analisar o sinal do denominador quando se aproxima de pela esquerda. - Se
, então e, ao aproximar de pela esquerda, é um número positivo muito pequeno (tende a ). - Assim
tende a porque dividimos uma constante positiva por um número positivo cada vez menor. - Conclusão: o limite é
.
Passo 4
Resolução de
:
- Técnica: diferença de raízes quadradas dividida por
— uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado para eliminar as raízes e simplificar. - Multiplico por
:
- O numerador simplifica:
- Então a expressão vira
- Agora fazemos
. Substituindo no denominador:
- Portanto o limite é
Passo 5
Resolução de
:
- Técnica: novamente comparar graus dos polinômios. O numerador tem grau
, o denominador tem grau . Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite em infinito é . - Para visualizar, dividimos por
:
- Quando
, todos os termos com potências negativas tendem a , logo o quociente tende a . - Conclusão: limite
.
Passo 6
Resolução de
:
- Técnica: para expressões com exponenciais, fatorar por
(ou dividir numerador e denominador por ) mostra o comportamento quando . - Divido por
:
- Quando
, temos . Então a expressão tende a
- Conclusão: limite
.
Passo 7
Resolução de
:
- Técnica: analisar limites laterais porque o denominador se anula em
. - Se
(pela esquerda), então e muito pequeno em módulo, então . - Se
(pela direita), então e muito pequeno, então . - Como os limites laterais não coincidem (um é
e o outro é ), o limite bilateral em não existe (diverge). - Conclusão: o limite não existe; lateral esquerdo é
e lateral direito é .
Passo 8
Resolução de
:
- Técnica: fatorar por
(o termo dominante quando ). - Fatorando:
- Quando
, . Assim
- Conclusão: limite
.
Passo 9
Resolução de
(o enunciado que veio como “1)”):
- Primeiro simplificar o numerador:
. Então o limite é
- Técnica: comparar graus. Numerador tem grau
, denominador grau . Quando com grau do denominador maior, o quociente tende a . - Para ver o sinal, podemos dividir por
:
- Quando
temos , então a expressão tende a . - Conclusão: limite
.
Passo 10
Resolução de
:
- Esta é análoga ao item
. Uso o conjugado:
- O numerador é
, então simplifica para
- Fazendo
, o denominador vira . Logo o limite é
Passo 11
Resolução de
:
- Técnica: indeterminação do tipo
. O truque padrão é multiplicar por conjugado para obter uma expressão mais simples. - Considere multiplicar numerador e denominador por
:
- Agora divido numerador e denominador por
(note que para , então essa divisão é válida):
- Fazendo
, , então o denominador tende a . - Assim o limite é
.
Passo 12
Resolução de
:
- Técnica: fatorar
ou dividir por :
- Quando
, , então o denominador tende a . Portanto o limite é .
Passo 13
Resolução de
:
- Técnica: analisar o comportamento do denominador quando se aproxima de
. O denominador é sempre não negativo e tende a quando . Em particular, (sempre positivo, exceto exatamente em ). - O numerador tende a
, um número positivo. - Assim estamos dividindo uma constante positiva por um número positivo que tende a
, então a expressão tende a . - Conclusão: limite
.
Resposta
não existe (limite à esquerda