Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
- A expressão tem base
e expoente . - O ponto de aproximação é
pela esquerda (isto é, valores de menores que e que se aproximam de ).
O que precisamos encontrar: o valor numérico desse limite (se existe finito, infinito ou zero).
Passo 2
Analisar o comportamento da base quando
. Calcular o limite simples da base:
Substituindo
diretamente, porque o denominador não se anula em
:
Portanto a base tende para
, que é um número positivo e menor que
.
Passo 3
Analisar o comportamento do expoente quando
. Observe a forma:
É útil reescrever para entender o infinito:
Quando
temos
, logo
. Assim
Portanto o expoente tende para
quando
se aproxima de
pela esquerda.
Passo 4
Temos base
e expoente
. Esse tipo de limite pode ser tratado transformando a potência em exponencial com logaritmo, que torna a análise mais clara. Defina
Então, tomando logaritmo natural,
Se conseguirmos o limite de
, então usaremos a continuidade da função exponencial para obter o limite de
:
quando o limite de
existe (pode ser
).
Passo 5
Calcular o limite do produto em
. Já vimos:
-
. -
.
Note que
, logo
Portanto estamos diante de um produto do tipo
vezes uma constante negativa. Assim o produto tende a
:
A argumentação: para
suficientemente próximo de
pela esquerda,
é próximo de
(um número fixo negativo), e multiplicando por um fator que cresce sem limite para
produz
.
Passo 6
Voltando para
usando exponencial:
Também se pode ver intuitivamente: uma base fixa entre
e
elevada a uma potência que cresce para
tende a
(por exemplo
quando
).
Passo 7
Conclusão final: o limite existe e é igual a
. Dá para checar rapidamente numericamente com
,
, etc.: a base fica perto de
e o expoente fica muito grande positivo, fazendo a potência ficar cada vez menor, tendendo a zero.