Calcule:
\lim _{x \rightarrow-2^{-}}\left(\frac{x+8}{16-5 x}\right)^{(x+1) /(x+2)}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -2^{-}}\left(\frac{x+8}{16-5x}\right)^{\frac{x+1}{x+2}}.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • A expressão tem base \dfrac{x+8}{16-5x} e expoente \dfrac{x+1}{x+2}.
  • O ponto de aproximação é x\to -2 pela esquerda (isto é, valores de x menores que -2 e que se aproximam de -2).
O que precisamos encontrar: o valor numérico desse limite (se existe finito, infinito ou zero).

Passo 2

Analisar o comportamento da base quando x\to -2^{-}. Calcular o limite simples da base:
\lim_{x\to -2}\frac{x+8}{16-5x}.
Substituindo x=-2 diretamente, porque o denominador não se anula em -2:
\frac{(-2)+8}{16-5(-2)}=\frac{6}{16+10}=\frac{6}{26}=\frac{3}{13}.
Portanto a base tende para \dfrac{3}{13}, que é um número positivo e menor que 1.

Passo 3

Analisar o comportamento do expoente quando x\to -2^{-}. Observe a forma:
\frac{x+1}{x+2}.
É útil reescrever para entender o infinito:
\frac{x+1}{x+2}=\frac{(x+2)-1}{x+2}=1-\frac{1}{x+2}.
Quando x\to -2^{-} temos x+2\to 0^{-}, logo \dfrac{1}{x+2}\to -\infty. Assim
1-\frac{1}{x+2}\to 1-(-\infty)=+\infty.
Portanto o expoente tende para +\infty quando x se aproxima de -2 pela esquerda.

Passo 4

Temos base \to \dfrac{3}{13}\in(0,1) e expoente \to +\infty. Esse tipo de limite pode ser tratado transformando a potência em exponencial com logaritmo, que torna a análise mais clara. Defina
y(x)=\left(\frac{x+8}{16-5x}\right)^{\frac{x+1}{x+2}}.
Então, tomando logaritmo natural,
\ln y(x)=\frac{x+1}{x+2}\cdot \ln\!\left(\frac{x+8}{16-5x}\right).
Se conseguirmos o limite de \ln y(x), então usaremos a continuidade da função exponencial para obter o limite de y(x):
\lim_{x\to -2^{-}} y(x)=\exp\!\left(\lim_{x\to -2^{-}}\ln y(x)\right),
quando o limite de \ln y(x) existe (pode ser -\infty).

Passo 5

Calcular o limite do produto em \ln y(x). Já vimos:
  • \dfrac{x+1}{x+2}\to +\infty.
  • \ln\!\left(\dfrac{x+8}{16-5x}\right)\to \ln\!\left(\dfrac{3}{13}\right).
Note que \dfrac{3}{13}\in(0,1), logo
\ln\!\left(\frac{3}{13}\right)<0.
Portanto estamos diante de um produto do tipo +\infty vezes uma constante negativa. Assim o produto tende a -\infty:
\lim_{x\to -2^{-}}\ln y(x)=\lim_{x\to -2^{-}}\frac{x+1}{x+2}\cdot \ln\!\left(\frac{x+8}{16-5x}\right) = -\infty.
A argumentação: para x suficientemente próximo de -2 pela esquerda, \ln\!\left(\dfrac{x+8}{16-5x}\right) é próximo de \ln(3/13) (um número fixo negativo), e multiplicando por um fator que cresce sem limite para +\infty produz -\infty.

Passo 6

Voltando para y(x) usando exponencial:
\lim_{x\to -2^{-}} y(x)=\exp\!\left(\lim_{x\to -2^{-}}\ln y(x)\right)=\exp(-\infty)=0.
Também se pode ver intuitivamente: uma base fixa entre 0 e 1 elevada a uma potência que cresce para +\infty tende a 0 (por exemplo \left(\tfrac12\right)^n\to 0 quando n\to\infty).

Passo 7

Conclusão final: o limite existe e é igual a 0. Dá para checar rapidamente numericamente com x=-2{,}1, x=-2{,}01, etc.: a base fica perto de 3/13 e o expoente fica muito grande positivo, fazendo a potência ficar cada vez menor, tendendo a zero.

Resposta

0

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