Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}}(2-5 x)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0^-} (2-5x)^{\frac{1}{x}}.
Informações importantes fornecidas:
  • A expressão é (2-5x)^{1/x}.
  • A aproximação é pela esquerda: x\to 0^- (ou seja, x é negativo e tende a zero).
  • O que queremos é o valor numérico para esse limite (se existe).

Passo 2

Estratégia: quando uma expressão tem a forma a(x)^{b(x)} com a(x)>0, a técnica padrão é passar para o logaritmo natural para transformar a potência em produto. Definindo
y(x)=(2-5x)^{\frac{1}{x}},
temos
\ln y(x)=\frac{1}{x}\ln(2-5x).
Se conseguirmos calcular \displaystyle \lim_{x\to0^-}\ln y(x), então o limite original será
\lim_{x\to0^-} y(x)=\exp\Big(\lim_{x\to0^-}\ln y(x)\Big),
desde que o limite do logaritmo exista (podendo ser \pm\infty).

Passo 3

Vamos estudar o comportamento de \displaystyle \frac{1}{x}\ln(2-5x) quando x\to0^-.
Primeiro, observe que
\lim_{x\to0^-}\ln(2-5x)=\ln(2),
pois 2-5x\to2 quando x\to0 e o logaritmo é contínuo em 2. Note que \ln(2)>0.
Agora, x\to0^- implica \dfrac{1}{x}\to -\infty (divisor tendendo a zero pelo lado negativo). Então temos uma razão cujo numerador tende a uma constante positiva \ln(2) e cujo denominador tende a 0 com sinal negativo, o que faz com que a razão tenda a -\infty.
Para ver isso de forma um pouco mais formal: existe \delta>0 tal que para todo x com -\delta<x<0 vale \ln(2-5x)>\tfrac{1}{2}\ln(2)>0. Para esses x,
\frac{1}{x}\ln(2-5x)\le \frac{1}{x}\cdot\Big(-\frac{1}{2}\ln(2)\Big)\quad\text{(pois \(x<0\))},
e o lado direito tende a -\infty quando x\to0^-. Portanto
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}\ln(2-5x)=-\infty.

Passo 4

Tendo encontrado
\lim_{x\to0^-}\ln y(x)=-\infty,
passamos de volta para y(x). Como a função exponencial é contínua e satisfaz \exp(t)\to 0 quando t\to -\infty, segue que
\lim_{x\to0^-} y(x)=\lim_{x\to0^-}\exp\big(\ln y(x)\big)=\exp(-\infty)=0.

Passo 5

Interpretação rápida e intuiva: para x muito pequeno e negativo, 2-5x fica um pouco maior que 2 (logo base >1), enquanto 1/x é um grande número negativo; portanto uma base maior que 1 elevada a uma potência muito negativa tende a 0. A razão rigorosa foi feita passando pelo logaritmo.

Resposta

\displaystyle 0

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