Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações importantes fornecidas:
- A expressão é
. - A aproximação é pela esquerda:
(ou seja, é negativo e tende a zero). - O que queremos é o valor numérico para esse limite (se existe).
Passo 2
Estratégia: quando uma expressão tem a forma
com
, a técnica padrão é passar para o logaritmo natural para transformar a potência em produto. Definindo
temos
Se conseguirmos calcular
, então o limite original será
desde que o limite do logaritmo exista (podendo ser
).
Passo 3
Vamos estudar o comportamento de
quando
.
Primeiro, observe que
pois
quando
e o logaritmo é contínuo em
. Note que
.
Agora,
implica
(divisor tendendo a zero pelo lado negativo). Então temos uma razão cujo numerador tende a uma constante positiva
e cujo denominador tende a
com sinal negativo, o que faz com que a razão tenda a
.
Para ver isso de forma um pouco mais formal: existe
tal que para todo
com
vale
. Para esses
,
e o lado direito tende a
quando
. Portanto
Passo 4
Tendo encontrado
passamos de volta para
. Como a função exponencial é contínua e satisfaz
quando
, segue que
Passo 5
Interpretação rápida e intuiva: para
muito pequeno e negativo,
fica um pouco maior que
(logo base
), enquanto
é um grande número negativo; portanto uma base maior que
elevada a uma potência muito negativa tende a
. A razão rigorosa foi feita passando pelo logaritmo.