calcule:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{2} \ln x.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{2} \ln x.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A variável tende para a direita de zero:
. - Quando
temos . - Quando
temos .
Portanto, a expressãoé do tipo “zero vezes menos infinito”, ou seja, uma forma indeterminada do tipo .
Passo 2
Escolha do método: o enunciado não exige um método específico. Vou usar um método básico e direto — transformar o produto em uma fração para aplicar a Regra de L’Hôpital — porque é simples, padrão em provas e exige derivadas elementares. Também apresentarei, como reforço didático, uma alternativa por substituição que dá intuição sobre quem “vence” entre
e
.
Passo 3
Reescrever para usar L’Hôpital: transformar o produto em quociente torna a aplicação da Regra de L’Hôpital direta. Escrevemos
Para
temos
e
, isto é uma indeterminação do tipo
, que é adequado para aplicar a Regra de L’Hôpital (condição: numerador e denominador tendem a
ou a
e são diferenciáveis na vizinhança direita de
).
Passo 4
Aplicar a Regra de L’Hôpital: derivar numerador e denominador separadamente.
- Derivada do numerador
em relação a é . - Derivada do denominador
em relação a é .
Pelo L’Hôpital,
Agora simplificamos a fração:
Passo 5
Avaliar o limite da expressão simplificada:
Portanto o limite original é
. Intuitivamente: embora
vá para
, o fator
vai a
muito mais rápido (potências de
tendem a zero mais rápido que logaritmos tendem a
), então o produto tende a zero.
Passo 6
Método alternativo (intuição extra): fazer a substituição
com
. Então
Como
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio em
, tem-se
. Aplicando L’Hôpital a
também dá
. Isso confirma a conclusão anterior.