calcule:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{2} \ln x.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\ln x.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A variável tende para a direita de zero: x\to 0^{+}.
  • Quando x\to 0^{+} temos \ln x \to -\infty.
  • Quando x\to 0^{+} temos x^{2}\to 0.
    Portanto, a expressão x^{2}\ln x é do tipo “zero vezes menos infinito”, ou seja, uma forma indeterminada do tipo 0\cdot(-\infty).

Passo 2

Escolha do método: o enunciado não exige um método específico. Vou usar um método básico e direto — transformar o produto em uma fração para aplicar a Regra de L’Hôpital — porque é simples, padrão em provas e exige derivadas elementares. Também apresentarei, como reforço didático, uma alternativa por substituição que dá intuição sobre quem “vence” entre x^{2} e \ln x.

Passo 3

Reescrever para usar L’Hôpital: transformar o produto em quociente torna a aplicação da Regra de L’Hôpital direta. Escrevemos
x^{2}\ln x = \frac{\ln x}{x^{-2}}.
Para x\to 0^{+} temos \ln x \to -\infty e x^{-2}\to +\infty, isto é uma indeterminação do tipo \dfrac{-\infty}{+\infty}, que é adequado para aplicar a Regra de L’Hôpital (condição: numerador e denominador tendem a \pm\infty ou a 0 e são diferenciáveis na vizinhança direita de 0).

Passo 4

Aplicar a Regra de L’Hôpital: derivar numerador e denominador separadamente.
  • Derivada do numerador \ln x em relação a x é \dfrac{1}{x}.
  • Derivada do denominador x^{-2} em relação a x é -2x^{-3}.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln x}{x^{-2}} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\dfrac{d}{dx}(\ln x)}{\dfrac{d}{dx}(x^{-2})} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\tfrac{1}{x}}{-2x^{-3}}.
Agora simplificamos a fração:
\frac{\tfrac{1}{x}}{-2x^{-3}} = \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{-2x^{-3}} = \frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{1}{2}x^{3}\right) = -\frac{1}{2}x^{2}.

Passo 5

Avaliar o limite da expressão simplificada:
\lim_{x\to 0^{+}} \left(-\frac{1}{2}x^{2}\right) = -\frac{1}{2}\cdot 0 = 0.
Portanto o limite original é 0. Intuitivamente: embora \ln x vá para -\infty, o fator x^{2} vai a 0 muito mais rápido (potências de x tendem a zero mais rápido que logaritmos tendem a -\infty), então o produto tende a zero.

Passo 6

Método alternativo (intuição extra): fazer a substituição x=e^{-t} com t\to +\infty. Então
x^{2}\ln x = e^{-2t}\cdot(-t) = -t e^{-2t}.
Como e^{2t} cresce muito mais rápido que qualquer polinômio em t, tem-se \lim_{t\to\infty} t e^{-2t}=0. Aplicando L’Hôpital a \dfrac{t}{e^{2t}} também dá 0. Isso confirma a conclusão anterior.

Resposta

0

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