Calcule:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações nos dá:
- Pede para calcular a integral indefinida
. - A expressão a integrar é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (função antiderivada) cujo derivada seja
.
Passo 2
Ideia do método (substituição) e por que faz sentido aqui:
- Quando temos uma composição do tipo
e vemos também a derivada desse “algo” multiplicando, uma boa estratégia é fazer a substituição . - Aqui o “algo” é
. Então definimos a substituição
- Calculamos a diferencial de
. Derivando em relação a :
- Isolando
(que aparece na integral original), obtemos
Explicação curta do que cada símbolo significa:
-
é a nova variável que substitui . -
representa a variação infinitesimal de , e a variação infinitesimal de .
Passo 3
Substituir na integral:
- A integral original é
- Substituindo
e , a integral vira
- Colocando a constante fora da integral:
Passo 4
Aplicar a regra de potência para integrais:
- A regra de potência diz que, para
,
Aqui
. Aplicando:
- Multiplicando pela constante
que estava fora:
Observação sobre
: é a constante de integração; qualquer constante adicionada a uma primitiva também é uma primitiva.
Passo 5
Voltar para a variável original
:
- Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (checagem):
- Diferenciando
usando a regra da cadeia:
o que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Um exemplo parecido para fixar (opcional e curto):
- Para fixar, veja
. - Fazer
, então e . A integral vira , ou seja .