Calcule:
\int x^{2}\left(x^{3}+5\right)^{9} d x.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações nos dá:
  • Pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int x^{2}\left(x^{3}+5\right)^{9}\,dx.
  • A expressão a integrar é \displaystyle x^{2}\left(x^{3}+5\right)^{9}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (função antiderivada) cujo derivada seja \displaystyle x^{2}\left(x^{3}+5\right)^{9}.

Passo 2

Ideia do método (substituição) e por que faz sentido aqui:
  • Quando temos uma composição do tipo \displaystyle ( \text{algo} )^{n} e vemos também a derivada desse “algo” multiplicando, uma boa estratégia é fazer a substituição \displaystyle u=\text{algo}.
  • Aqui o “algo” é \displaystyle x^{3}+5. Então definimos a substituição
u = x^{3}+5.
  • Calculamos a diferencial de u. Derivando em relação a x:
\frac{du}{dx}=3x^{2}\quad\Rightarrow\quad du=3x^{2}\,dx.
  • Isolando x^{2}\,dx (que aparece na integral original), obtemos
x^{2}\,dx=\frac{du}{3}.
Explicação curta do que cada símbolo significa:
  • \displaystyle u é a nova variável que substitui \displaystyle x^{3}+5.
  • \displaystyle du representa a variação infinitesimal de u, e \displaystyle dx a variação infinitesimal de x.

Passo 3

Substituir na integral:
  • A integral original é
\int x^{2}\left(x^{3}+5\right)^{9}\,dx.
  • Substituindo \displaystyle u=x^{3}+5 e \displaystyle x^{2}\,dx=\dfrac{du}{3}, a integral vira
\int x^{2}\left(x^{3}+5\right)^{9}\,dx = \int \left(u^{9}\right)\left(\frac{du}{3}\right).
  • Colocando a constante fora da integral:
\int \left(u^{9}\right)\left(\frac{du}{3}\right)=\frac{1}{3}\int u^{9}\,du.

Passo 4

Aplicar a regra de potência para integrais:
  • A regra de potência diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=9. Aplicando:
\int u^{9}\,du=\frac{u^{10}}{10}+C.
  • Multiplicando pela constante \dfrac{1}{3} que estava fora:
\frac{1}{3}\int u^{9}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{10}}{10}+C = \frac{u^{10}}{30}+C.
Observação sobre C: é a constante de integração; qualquer constante adicionada a uma primitiva também é uma primitiva.

Passo 5

Voltar para a variável original x:
  • Lembrando que \displaystyle u=x^{3}+5, substituímos de volta:
\frac{u^{10}}{30}+C = \frac{\left(x^{3}+5\right)^{10}}{30}+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (checagem):
  • Diferenciando \displaystyle F(x)=\frac{\left(x^{3}+5\right)^{10}}{30} usando a regra da cadeia:
F'(x)=\frac{1}{30}\cdot 10\left(x^{3}+5\right)^{9}\cdot 3x^{2}=\left(x^{3}+5\right)^{9}x^{2},
o que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Um exemplo parecido para fixar (opcional e curto):
  • Para fixar, veja \displaystyle \int x\left(x^{2}+1\right)^{3}\,dx.
  • Fazer u=x^{2}+1, então du=2x\,dx e x\,dx=du/2. A integral vira \tfrac{1}{2}\int u^{3}\,du=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{u^{4}}{4}+C=\tfrac{u^{4}}{8}+C, ou seja \tfrac{(x^{2}+1)^{4}}{8}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{\left(x^{3}+5\right)^{10}}{30}+C

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