Encontre as seguintes Transformadas de Laplace inversas:
pt)
.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace inversa do sinal
Ou seja, precisamos calcular
As informações relevantes são:
- há um fator exponencial
multiplicando a função racional; - a parte sem o exponencial é
.
Passo 2
Explicando uma ferramenta chave que vamos usar: o teorema do deslocamento no tempo (segunda fórmula de deslocamento).
- Enunciado do teorema: se
, então
onde
é a função de Heaviside (passo unitário) centrada em
.
- O que cada símbolo significa:
-
é o tempo de atraso (aqui será ); -
é a transformada de Laplace de alguma função ; -
vale para e para ; -
é a função “deslocada” no tempo.
Isso quer dizer que, para aplicar o teorema, basta inverter a parte sem o exponencial para obtere depois deslocar/ativar com .
-
Passo 3
Identificação no nosso caso:
-
porque temos . -
.
Logo precisamos primeiro calcular
e depois usar o teorema para obter a resposta final como
.
Passo 4
Calcular
.
Primeiro fazemos frações parciais em . Note que
Primeiro fazemos frações parciais em
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Agora achamos
e
avaliando em escolhas convenientes:
- para
:
- para
:
Portanto
Passo 5
Agora usamos transformadas conhecidas (e explico rapidamente):
-
para , logo
Aplicando isso às parcelas:
Somando,
Reconhecendo a função hiperbólica seno:
pois
.
Passo 6
Aplicando o teorema do deslocamento (Passo 2) com
e
:
Substituindo
:
Explicando em palavras: a função vale zero para
; a partir de
ela é exatamente
avaliada em
.