(Valor: 2,2) Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Vou chamar essa integral de
para facilitar a escrita:
Aqui o objetivo é encontrar uma função
tal que
. Vou resolver passo a passo usando a técnica de integração por partes.
Passo 2
Regra de integração por partes (uma “fórmula-chave”):
Explicando: escolhemos duas funções
e
. Calcula-se
(derivada de
vezes
) e
(uma primitiva de
). Então substituímos na fórmula. A ideia é escolher
e
de modo a obter uma integral mais simples.
Passo 3
Aplicando a primeira integração por partes em
.
Escolho
Escolho
Justificativa simples:
tem a propriedade de que sua derivada é ele mesmo, e
tem primitiva conhecida; essa escolha vai manter a estrutura exponencial e trigonométrica controlada.
Calculo
e
:
Passo 4
Agora aplico a fórmula:
Simplificando sinais:
Defino a nova integral que apareceu:
Portanto
Passo 5
Vou calcular
também por integração por partes (segunda aplicação). Escolho de forma análoga:
Então
Passo 6
Aplico integração por partes em
:
Mas observe que
é justamente
. Logo
Passo 7
Substituo a expressão de
(obtida no Passo 6) na relação do Passo 4:
Agora reorganizo para isolar
:
Trago o termo
do lado direito para o lado esquerdo somando
dos dois lados:
Portanto
Passo 8
Divido ambos os lados por
para obter
:
onde
é a constante de integração (sempre presente em integrais indefinidas).