(Valor: 2,2) Calcule:
\int e^{x} \operatorname{sen} x d x .

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int e^{x}\sin x\,dx.
Vou chamar essa integral de I para facilitar a escrita:
I=\int e^{x}\sin x\,dx.
Aqui o objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=e^{x}\sin x. Vou resolver passo a passo usando a técnica de integração por partes.

Passo 2

Regra de integração por partes (uma “fórmula-chave”):
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando: escolhemos duas funções u(x) e v'(x)=dv/dx. Calcula-se du (derivada de u vezes dx) e v (uma primitiva de v'). Então substituímos na fórmula. A ideia é escolher u e dv de modo a obter uma integral mais simples.

Passo 3

Aplicando a primeira integração por partes em I.
Escolho
u=e^{x},\qquad dv=\sin x\,dx.
Justificativa simples: e^{x} tem a propriedade de que sua derivada é ele mesmo, e \sin x tem primitiva conhecida; essa escolha vai manter a estrutura exponencial e trigonométrica controlada.
Calculo du e v:
du = e^{x}\,dx, \qquad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.

Passo 4

Agora aplico a fórmula:
I = uv - \int v\,du = e^{x}(-\cos x) - \int (-\cos x)\,e^{x}\,dx.
Simplificando sinais:
I = -e^{x}\cos x + \int e^{x}\cos x\,dx.
Defino a nova integral que apareceu:
J=\int e^{x}\cos x\,dx.
Portanto
I = -e^{x}\cos x + J.

Passo 5

Vou calcular J também por integração por partes (segunda aplicação). Escolho de forma análoga:
u=e^{x},\qquad dv=\cos x\,dx.
Então
du=e^{x}\,dx,\qquad v=\int \cos x\,dx=\sin x.

Passo 6

Aplico integração por partes em J:
J = uv - \int v\,du = e^{x}\sin x - \int \sin x\,e^{x}\,dx.
Mas observe que \int \sin x\,e^{x}\,dx é justamente I. Logo
J = e^{x}\sin x - I.

Passo 7

Substituo a expressão de J (obtida no Passo 6) na relação do Passo 4:
I = -e^{x}\cos x + J = -e^{x}\cos x + \bigl(e^{x}\sin x - I\bigr).
Agora reorganizo para isolar I:
I = -e^{x}\cos x + e^{x}\sin x - I.
Trago o termo -I do lado direito para o lado esquerdo somando I dos dois lados:
I + I = e^{x}\sin x - e^{x}\cos x.
Portanto
2I = e^{x}(\sin x - \cos x).

Passo 8

Divido ambos os lados por 2 para obter I:
I = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin x - \cos x\bigr) + C,
onde C é a constante de integração (sempre presente em integrais indefinidas).

Resposta

\frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin x - \cos x\bigr) + C

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