Calcule:
\lim _{x \rightarrow 1} x^{\operatorname{sen}(x)}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\rightarrow 1} x^{\operatorname{sen}(x)}.
Informações e observações que o enunciado dá (ou implicita):
  • A variável x tende para 1.
  • A base da potência é x, que tende para 1.
  • O expoente é \operatorname{sen}(x) (ou seja, \sin(x)), que tende para \sin(1) quando x\to1.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Motivação do método (sem resolver ainda): quando temos uma expressão do tipo a(x)^{b(x)} com a(x)>0 perto do ponto de interesse, é muito conveniente usar a transformação com logaritmo natural e exponencial:
a^{b} = e^{b\ln a}.
Isso transforma uma potência numa exponencial cuja base fixa é e, e o problema passa a ser calcular o limite do expoente b(x)\ln(a(x)). Vou aplicar isso aqui com a(x)=x e b(x)=\sin(x). A transformação é válida porque, ao aproximar x de 1, a base x permanece positiva (próxima de 1), então \ln(x) está bem definida.

Passo 3

Aplicando a transformação log-exp:
x^{\sin(x)} = \exp\big(\sin(x)\cdot \ln(x)\big).
Logo
\lim_{x\to 1} x^{\sin(x)} = \lim_{x\to 1} \exp\big(\sin(x)\ln(x)\big).
Agora usamos a continuidade da função exponencial: se \lim_{x\to1} \sin(x)\ln(x) existe e vale L, então
\lim_{x\to1} \exp\big(\sin(x)\ln(x)\big)=\exp\big(L\big).

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 1}\sin(x)\ln(x).
Observações:
  • \lim_{x\to1}\sin(x)=\sin(1), que é um número finito (aproximadamente 0{,}84147\ldots).
  • \lim_{x\to1}\ln(x)=0, porque \ln(1)=0 e \ln é contínua em 1.
Como ambos os limites existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites:
\lim_{x\to1}\sin(x)\ln(x)=\big(\lim_{x\to1}\sin(x)\big)\cdot\big(\lim_{x\to1}\ln(x)\big)=\sin(1)\cdot 0=0.
(Se preferir outra visão: para x perto de 1 tem-se \ln(x)\approx x-1, então \sin(x)\ln(x)\approx \sin(1)\cdot (x-1)\to 0, mesma conclusão.)

Passo 5

Voltando à exponencial: como \lim_{x\to1}\sin(x)\ln(x)=0, pela continuidade de \exp temos
\lim_{x\to1} x^{\sin(x)}=\exp(0)=1.

Passo 6

Comentário final motivador: a ideia chave para esse tipo de limite é passar para a forma \exp(\text{algo}) e estudar o limite do “algo” (aqui \sin(x)\ln x). Quando a base tende a 1 e o expoente tende a um número finito, muitas vezes o produto com \ln tende a zero e o limite final será 1. Bons estudos — você está indo bem!

Resposta

1

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