Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações e observações que o enunciado dá (ou implicita):
- A variável
tende para . - A base da potência é
, que tende para . - O expoente é
(ou seja, ), que tende para quando .
A pergunta é: qual é o valor desse limite?
Passo 2
Motivação do método (sem resolver ainda): quando temos uma expressão do tipo
com
perto do ponto de interesse, é muito conveniente usar a transformação com logaritmo natural e exponencial:
Isso transforma uma potência numa exponencial cuja base fixa é
, e o problema passa a ser calcular o limite do expoente
. Vou aplicar isso aqui com
e
. A transformação é válida porque, ao aproximar
de
, a base
permanece positiva (próxima de
), então
está bem definida.
Passo 3
Aplicando a transformação log-exp:
Logo
Agora usamos a continuidade da função exponencial: se
existe e vale
, então
Passo 4
Calcular
.
Observações:
-
, que é um número finito (aproximadamente ). -
, porque e é contínua em .
Como ambos os limites existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites:
(Se preferir outra visão: para
perto de
tem-se
, então
, mesma conclusão.)
Passo 5
Voltando à exponencial: como
, pela continuidade de
temos
Passo 6
Comentário final motivador: a ideia chave para esse tipo de limite é passar para a forma
e estudar o limite do “algo” (aqui
). Quando a base tende a
e o expoente tende a um número finito, muitas vezes o produto com
tende a zero e o limite final será
. Bons estudos — você está indo bem!