Calcule:
\lim _{x \rightarrow-2^{+}}\left(\frac{x+8}{16-5 x}\right)^{(x+1) /(x+2)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-2^{+}}\left(\frac{x+8}{16-5x}\right)^{\frac{x+1}{x+2}}.
As informações relevantes que temos:
  • A expressão base é \dfrac{x+8}{16-5x}.
  • O expoente é \dfrac{x+1}{x+2}.
  • O limite é tomado quando x tende para -2 pela direita (ou seja, x>-2 e se aproxima de -2).

Passo 2

Calcular o limite da base quando x\to-2. Substituindo x=-2 diretamente na base obtemos
\frac{(-2)+8}{16-5(-2)}=\frac{6}{16+10}=\frac{6}{26}=\frac{3}{13}.
Portanto
\lim_{x\to-2}\frac{x+8}{16-5x}=\frac{3}{13}.
Note que \dfrac{3}{13} é um número positivo e estritamente menor que 1. Assim a base tende para um valor em (0,1).

Passo 3

Calcular o comportamento do expoente quando x\to-2^{+}. Observe
\frac{x+1}{x+2}=\frac{(x+1)}{(x+2)}.
Ao tomar x\to-2 temos o numerador tendendo para (-2)+1=-1 (um número finito e negativo) e o denominador tendendo para 0. Como estamos vindo pela direita, x+2\to0^{+}. Logo
\frac{x+1}{x+2}\to\frac{-1}{0^{+}}=-\infty.
Portanto o expoente tende para -\infty.

Passo 4

Para manipular potências com expoente divergente, é útil passar para a forma exponencial usando logaritmo natural. Defina a função
f(x)=\left(\frac{x+8}{16-5x}\right)^{\frac{x+1}{x+2}}.
Como a base é positiva para x perto de -2, podemos escrever
f(x)=\exp\!\left(\frac{x+1}{x+2}\cdot\ln\!\left(\frac{x+8}{16-5x}\right)\right).
Agora vamos estudar o limite do argumento do exponencial:
A(x):=\frac{x+1}{x+2}\cdot\ln\!\left(\frac{x+8}{16-5x}\right).

Passo 5

Determinar o limite de A(x) quando x\to-2^{+}. Já sabemos que
\lim_{x\to-2}\ln\!\left(\frac{x+8}{16-5x}\right)=\ln\!\left(\frac{3}{13}\right).
Como \dfrac{3}{13}\in(0,1), tem-se \ln\!\left(\dfrac{3}{13}\right)<0 (logaritmo de número menor que 1 é negativo). Também temos, do Passo 3,
\frac{x+1}{x+2}\to -\infty.
Então o produto
A(x)=\frac{x+1}{x+2}\cdot\ln\!\left(\frac{x+8}{16-5x}\right)
é o produto de -\infty por um número negativo próximo de \ln\!\left(\dfrac{3}{13}\right). Dois fatores negativos (um divergente para -\infty e outro fixo negativo) produzem um limite +\infty. Assim
\lim_{x\to-2^{+}}A(x)=+\infty.

Passo 6

Voltando para f(x),
f(x)=\exp(A(x)).
Como A(x)\to+\infty, conclui-se que
\lim_{x\to-2^{+}}f(x)=\exp(+\infty)=+\infty.
Intuição rápida: a base tende para um número entre 0 e 1, e o expoente tende para -\infty; potências de um número menor que 1 com expoente muito negativo viram potências de um número maior que 1 com expoente muito positivo, portanto crescerão sem limite.

Resposta

+\infty

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