Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
As informações relevantes que temos:
- A expressão base é
. - O expoente é
. - O limite é tomado quando
tende para pela direita (ou seja, e se aproxima de ).
Passo 2
Calcular o limite da base quando
. Substituindo
diretamente na base obtemos
Portanto
Note que
é um número positivo e estritamente menor que
. Assim a base tende para um valor em
.
Passo 3
Calcular o comportamento do expoente quando
. Observe
Ao tomar
temos o numerador tendendo para
(um número finito e negativo) e o denominador tendendo para
. Como estamos vindo pela direita,
. Logo
Portanto o expoente tende para
.
Passo 4
Para manipular potências com expoente divergente, é útil passar para a forma exponencial usando logaritmo natural. Defina a função
Como a base é positiva para
perto de
, podemos escrever
Agora vamos estudar o limite do argumento do exponencial:
Passo 5
Determinar o limite de
quando
. Já sabemos que
Como
, tem-se
(logaritmo de número menor que 1 é negativo). Também temos, do Passo 3,
Então o produto
é o produto de
por um número negativo próximo de
. Dois fatores negativos (um divergente para
e outro fixo negativo) produzem um limite
. Assim
Passo 6
Voltando para
,
Como
, conclui-se que
Intuição rápida: a base tende para um número entre
e
, e o expoente tende para
; potências de um número menor que
com expoente muito negativo viram potências de um número maior que
com expoente muito positivo, portanto crescerão sem limite.