1. Calcule
a) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}+x^{2}}{2 x-x^{2}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedido: calcular \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x}+x^{2}}{2x-x^{2}}.
  • Informações dadas: a expressão é uma razão entre um numerador \sqrt{x}+x^{2} e um denominador 2x-x^{2}. Observação útil: \sqrt{x}=x^{1/2} e aparece um termo x^{2} em ambos numerador e denominador.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): quando x\to+\infty a melhor forma de entender limites de frações com potências de x é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece na expressão. Isso mostra quais termos “dominam” (crescem mais rápido) e quais tendem a zero. Aqui a maior potência é x^{2}. Vou aplicar essa ideia passo a passo.
Divido numerador e denominador por x^{2}. Escrevo a expressão e simplifico termo a termo:
\frac{\sqrt{x}+x^{2}}{2x-x^{2}} = \frac{\dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}}+\dfrac{x^{2}}{x^{2}}}{\dfrac{2x}{x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{x^{1/2}}{x^{2}}+1}{\dfrac{2}{x}-1}.
Agora simplifico \dfrac{x^{1/2}}{x^{2}}=x^{1/2-2}=x^{-3/2}. Assim a expressão fica
\frac{x^{-3/2}+1}{2/x-1}.

Passo 3

Avalio o comportamento dos termos isolados quando x\to+\infty:
  • x^{-3/2}=\dfrac{1}{x^{3/2}}. Como x^{3/2}\to+\infty, temos x^{-3/2}\to 0.
  • \dfrac{2}{x}\to 0 quando x\to+\infty.
    Portanto, usando essas observações, o numerador tende para 0+1=1 e o denominador tende para 0-1=-1.

Passo 4

Aplicando a regra de limites para soma, produto e quociente (vale que o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero), obtenho o limite da expressão transformada:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{-3/2}+1}{2/x-1}=\frac{\lim_{x\to+\infty}(x^{-3/2}+1)}{\lim_{x\to+\infty}(2/x-1)}=\frac{1}{-1}=-1.

Passo 5

Comentário alternativo curto (cheque de sinal): dá para ver também que, para x grande, x^{2} domina em ambos os lados; o numerador comporta-se como +x^{2} e o denominador como -x^{2}, daí a razão tende a -1. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

-1

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