- Calcule
a)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que temos:
- Pedido: calcular
. - Informações dadas: a expressão é uma razão entre um numerador
e um denominador . Observação útil: e aparece um termo em ambos numerador e denominador.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): quando
a melhor forma de entender limites de frações com potências de
é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece na expressão. Isso mostra quais termos “dominam” (crescem mais rápido) e quais tendem a zero. Aqui a maior potência é
. Vou aplicar essa ideia passo a passo.
Divido numerador e denominador por . Escrevo a expressão e simplifico termo a termo:
Divido numerador e denominador por
Agora simplifico
. Assim a expressão fica
Passo 3
Avalio o comportamento dos termos isolados quando
:
-
. Como , temos . -
quando .
Portanto, usando essas observações, o numerador tende parae o denominador tende para .
Passo 4
Aplicando a regra de limites para soma, produto e quociente (vale que o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero), obtenho o limite da expressão transformada:
Passo 5
Comentário alternativo curto (cheque de sinal): dá para ver também que, para
grande,
domina em ambos os lados; o numerador comporta-se como
e o denominador como
, daí a razão tende a
. Isso confirma o resultado anterior.