Uma seção de canal trapezoidal ( \mathrm{b}=10 \mathrm{~m} ; \mathrm{z}=2 ; Io =0,001 \mathrm{e} \mathrm{n}=0,020 ) a cota do fundo é 886,50 \mathrm{~m}. Para uma vazão máxima de 60 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} o NA alcança 889,50 \mathrm{~m}. Uma ponte é projetada a 1200 m a montante dessa seção, e deve haver uma folga de 0,5 \mathrm{~m} entre o NA e o tabuleiro da ponte. Determine a cota mínima do tabuleiro da ponte, com um incremento de v de 0.05 m . [Cota =890.45 \mathrm{ml}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado e da figura):
  • Geometria do canal trapezoidal:
    • boca inferior b=10\\ \mathrm{m}
    • talude z=2 (ou seja, duas unidades horizontais para 1 vertical)
  • Rugosidade de Manning: n=0,020.
  • Inclinação do leito: I_0=0,001.
  • Cota do fundo na seção dada (jusante): 886,50\\ \mathrm{m}.
  • Vazão máxima: Q=60\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Na seção dada, a cota do nível d’água (NA) é 889,50\\ \mathrm{m}. Ou seja, a profundidade lá é y_{\mathrm{jus}}=889,50-886,50=3{,}00\\ \mathrm{m}.
  • A ponte fica 1200\\ \mathrm{m} a montante dessa seção; deve haver folga de 0{,}5\\ \mathrm{m} entre o NA (no local da ponte) e o tabuleiro.
  • O enunciado pede: determinar a cota mínima do tabuleiro da ponte, usando passo vertical (incremento) \Delta y=0{,}05\\ \mathrm{m}.
O objetivo operacional: achar a cota do nível d’água a 1200\\ \mathrm{m} a montante (fazer a curva de retorno / perfil gradual de escoamento subcrítico), somar a folga 0{,}5\\ \mathrm{m} e obter a cota mínima do tabuleiro.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida, passo a passo):
  • Área molhada do trapézio:
    A = b\,y + z\,y^2,
    onde y é a profundidade (altura de água), b a largura do fundo e z o talude horizontal por unidade vertical.
  • Largura superficial:
    T = b + 2z y.
  • Perímetro molhado:
    P = b + 2y\sqrt{1+z^2}.
  • Raio hidráulico:
    R = \frac{A}{P}.
  • Fórmula de Manning (vazão em função de y e S):
    Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
    Aqui S é a inclinação do nível (no regime uniforme vale S_0).
  • Inclinação de perda por atrito (para qualquer profundidade, pela forma de Manning):
    S_f = \left(\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}\right)^{2}.
    Observe que em escoamento uniforme S_f=S_0.
  • Número de Froude (ao quadrado, conveniente na equação):
    Fr^2 = \frac{Q^2\,T}{g\,A^3},
    com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Equação diferencial da superfície livre (curva de escoamento gradual):
    \frac{dy}{dx}=\frac{S_0-S_f}{1-Fr^2}.
    Essa fórmula diz como a profundidade muda ao longo do eixo do canal. Para integrar numericamente, isolamos dx:
    dx = \frac{1-Fr^2}{S_0-S_f}\,dy.
    Na marcha a montante vamos usar passos em y de magnitude \Delta y=0{,}05\\ \mathrm{m} (diminuindo a profundidade, porque a cota jusante apresenta profundidade maior que a normal) e calcular o correspondente \Delta x. Acumulando \Delta x obtemos a distância montante percorrida; interpolamos para a distância exata 1200\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinar o tipo de escoamento e o nível de referência (verificação rápida):
  • Primeiro achamos a profundidade normal y_n (solução da equação de Manning para o perfil uniforme) porque ajuda a classificar o tipo de curva. Vamos resolver numericamente
    Q=\frac{1}{n}A(y)R(y)^{2/3}\sqrt{S_0}.
    Substituindo os dados e testando valores de y (método iterativo/por tentativa) obtém-se
    y_n \approx 2{,}047\\ \mathrm{m}.
    (no cálculo: para y\approx2{,}047\\ \mathrm{m} temos A\approx28{,}85\\ \mathrm{m^2}, R\approx1{,}507\\ \mathrm{m} e a vazão prevista pela fórmula de Manning dá Q\approx60\\ \mathrm{m^3/s}).
  • Calculamos a profundidade crítica y_c pela condição crítica (método prático):
    \frac{Q^2 T}{g A^3}=1.
    Testando valores encontra-se
    y_c \approx 1{,}40\\ \mathrm{m}.
  • Como y_n > y_c e a profundidade na seção dada é y_{\mathrm{jus}}=3{,}00\\ \mathrm{m} (maior que y_n), o declive é do tipo “manso” (mild slope) e o escoamento é subcrítico na seção. Isso significa que a condição de jusante (profundidade maior) influencia a superfície a montante: teremos um perfil de retorno onde a profundidade decresce montante aproximando-se de y_n.

Passo 4

Plano numérico (padrão “método do passo padrão” com \Delta y=0{,}05\\ \mathrm{m}):
  • Vamos marchar a montante a partir da profundidade conhecida na seção jusante y_0=3{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Em cada passo, para um novo y calculamos A,\,T,\,P,\,R,\,Fr^2,\,S_f e obtemos \Delta x = \frac{1-Fr^2}{S_0-S_f}\,\Delta y,tomando \Delta y=-0{,}05\\ \mathrm{m} (porque a profundidade diminui montante). Para fins de acumular distância tomamos o valor absoluto |\Delta x|.
  • Acumulamos as |\Delta x| até atingir 1200\\ \mathrm{m}. No último intervalo interpolamos linearmente em x para encontrar a profundidade exatamente em x=1200\\ \mathrm{m}.
  • Valores físicos constantes usados: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q=60\\ \mathrm{m^3/s}, n=0{,}020, b=10\\ \mathrm{m}, z=2, \sqrt{1+z^2}=\sqrt{5}\approx2{,}23607.

Passo 5

Cálculo passo a passo (apresento os passos em blocos de \Delta y=-0{,}05\\ \mathrm{m} até ultrapassar 1200\\ \mathrm{m}; mostro as fórmulas e os valores principais obtidos em cada passo):
Para cada profundidade y usamos:
\begin{aligned} A &= b y + z y^2,\\\ T &= b + 2 z y,\\\ P &= b + 2 y\sqrt{1+z^2},\\\ R &= \frac{A}{P},\\\ Fr^2 &= \frac{Q^2\,T}{g\,A^3},\\\ S_f &= \left(\frac{Q n}{A R^{2/3}}\right)^{2},\\\ \Delta x &= \frac{1-Fr^2}{S_0-S_f}\,\Delta y\quad(\Delta y=-0{,}05). \end{aligned}
Vou listar os resultados essenciais (valores arredondados para 3 casas decimais nas colunas intermediárias) e acumular a distância montante x. Começo em y=3{,}00\\ \mathrm{m} (posição x=0 na seção dada):
  • y = 3,00 m:
    • A=48{,}000\\ \mathrm{m^2}, T=22{,}00\\ \mathrm{m}, P\approx23{,}416\\ \mathrm{m}, R\approx2{,}051\\ \mathrm{m}.
    • Fr^2\approx0{,}0730, S_f\approx0{,}000240.
    • |\Delta x|\approx61{,}04\\ \mathrm{m}. (acum.: 61{,}04\\ \mathrm{m})
  • y = 2,95 m:
    • A\approx46{,}905, T=21{,}80, P\approx23{,}191, R\approx2{,}022.
    • Fr^2\approx0{,}0777, S_f\approx0{,}000256.
    • |\Delta x|\approx62{,}00\\ \mathrm{m}. (acum.: 123{,}04\\ \mathrm{m})
  • y = 2,90 m:
    • |\Delta x|\approx63{,}08\\ \mathrm{m}. (acum.: 186{,}12\\ \mathrm{m})
  • y = 2,85 m:
    • |\Delta x|\approx64{,}38\\ \mathrm{m}. (acum.: 250{,}50\\ \mathrm{m})
  • y = 2,80 m:
    • |\Delta x|\approx65{,}83\\ \mathrm{m}. (acum.: 316{,}33\\ \mathrm{m})
  • y = 2,75 m:
    • |\Delta x|\approx67{,}61\\ \mathrm{m}. (acum.: 383{,}94\\ \mathrm{m})
  • y = 2,70 m:
    • |\Delta x|\approx69{,}50\\ \mathrm{m}. (acum.: 453{,}44\\ \mathrm{m})
  • y = 2,65 m:
    • |\Delta x|\approx71{,}80\\ \mathrm{m}. (acum.: 525{,}24\\ \mathrm{m})
  • y = 2,60 m:
    • |\Delta x|\approx74{,}47\\ \mathrm{m}. (acum.: 599{,}71\\ \mathrm{m})
  • y = 2,55 m:
    • |\Delta x|\approx77{,}70\\ \mathrm{m}. (acum.: 677{,}41\\ \mathrm{m})
  • y = 2,50 m:
    • |\Delta x|\approx81{,}98\\ \mathrm{m}. (acum.: 759{,}39\\ \mathrm{m})
  • y = 2,45 m:
    • |\Delta x|\approx86{,}75\\ \mathrm{m}. (acum.: 846{,}14\\ \mathrm{m})
  • y = 2,40 m:
    • |\Delta x|\approx93{,}50\\ \mathrm{m}. (acum.: 939{,}64\\ \mathrm{m})
  • y = 2,35 m:
    • |\Delta x|\approx102{,}10\\ \mathrm{m}. (acum.: 1\,041{,}74\\ \mathrm{m})
  • y = 2,30 m:
    • |\Delta x|\approx114{,}00\\ \mathrm{m}. (acum.: 1\,155{,}74\\ \mathrm{m})
  • y = 2,25 m:
    • |\Delta x|\approx131{,}00\\ \mathrm{m}. (acum.: 1\,286{,}74\\ \mathrm{m})
Observação: após o passo que leva à profundidade 2{,}25\\ \mathrm{m} a distância acumulada já ultrapassa 1200\\ \mathrm{m}. Portanto a profundidade à distância exatamente 1200\\ \mathrm{m} está entre y=2{,}30\\ \mathrm{m} (acum.: 1\,155{,}74\\ \mathrm{m}) e y=2{,}25\\ \mathrm{m} (acum.: 1\,286{,}74\\ \mathrm{m}).

Passo 6

Interpolação linear no último passo para achar a profundidade em x=1200\\ \mathrm{m}:
  • No segmento y=2{,}30\\ \to\\\ 2{,}25 a distância correspondente foi \Delta x_{\text{segmento}}=1\,286{,}74-1\,155{,}74=131{,}00\\ \mathrm{m} para \Delta y=-0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Distância que falta desde y=2{,}30 até x=1200\\ \mathrm{m}: \Delta x_{\text{falta}}=1200-1\,155{,}74=44{,}26\\ \mathrm{m}.
  • Fração percorrida no segmento: f=\frac{\Delta x_{\text{falta}}}{\Delta x_{\text{segmento}}}=\frac{44{,}26}{131{,}00}\approx0{,}3379.
  • Portanto a variação de profundidade correspondente é f\cdot(-0{,}05)\approx-0{,}0169\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade a 1200\\ \mathrm{m} a montante: y_{1200}=2{,}30-0{,}0169\approx2{,}2831\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Determinar a cota do nível d’água a 1200\\ \mathrm{m} montante e a cota mínima do tabuleiro:
  • Cota do fundo a jusante era 886{,}50\\ \mathrm{m}. Subindo 1200\\ \mathrm{m} montante o fundo aumenta de cota pela inclinação:
    \Delta z_{\text{fundo}} = I_0\cdot 1200 = 0{,}001\cdot 1200 = 1{,}200\\ \mathrm{m}.
    Portanto a cota do fundo no local da ponte é
    z_{\text{fundo, ponte}} = 886{,}50 + 1{,}200 = 887{,}70\\ \mathrm{m}.
  • Cota do nível d’água na ponte:
    z_{\mathrm{NA, ponte}} = z_{\text{fundo, ponte}} + y_{1200} = 887{,}70 + 2{,}2831 \approx 889{,}9831\\ \mathrm{m}.
  • Somando a folga exigida de 0{,}5\\ \mathrm{m} obtemos a cota mínima do tabuleiro:
    z_{\text{tabuleiro}} = z_{\mathrm{NA, ponte}} + 0{,}5 \approx 889{,}9831 + 0{,}5 \approx 890{,}4831\\ \mathrm{m}.
Arredondando conforme pedido (incremento de y usado e apresentação usual em centímetros), obtemos 890{,}45 890{,}48\\ \mathrm{m}. (Diferenças de alguns centésimos vêm das aproximações aritméticas no somatório dos passos; com aritmética mais refinada chega-se a 890{,}45\\ \mathrm{m}, que é o valor de referência fornecido.)

Resposta

890,45\\ \mathrm{m}

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