Uma seção de canal trapezoidal (
Io
) a cota do fundo é
. Para uma vazão máxima de
o NA alcança
. Uma ponte é projetada a 1200 m a montante dessa seção, e deve haver uma folga de
entre o NA e o tabuleiro da ponte. Determine a cota mínima do tabuleiro da ponte, com um incremento de v de 0.05 m . [Cota
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado e da figura):
- Geometria do canal trapezoidal:
- boca inferior
- talude
(ou seja, duas unidades horizontais para 1 vertical)
- boca inferior
- Rugosidade de Manning:
. - Inclinação do leito:
. - Cota do fundo na seção dada (jusante):
. - Vazão máxima:
. - Na seção dada, a cota do nível d’água (NA) é
. Ou seja, a profundidade lá é . - A ponte fica
a montante dessa seção; deve haver folga de entre o NA (no local da ponte) e o tabuleiro. - O enunciado pede: determinar a cota mínima do tabuleiro da ponte, usando passo vertical (incremento)
.
O objetivo operacional: achar a cota do nível d’água a
a montante (fazer a curva de retorno / perfil gradual de escoamento subcrítico), somar a folga
e obter a cota mínima do tabuleiro.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida, passo a passo):
-
Área molhada do trapézio:onde
é a profundidade (altura de água), a largura do fundo e o talude horizontal por unidade vertical. -
Largura superficial:
-
Perímetro molhado:
-
Raio hidráulico:
-
Fórmula de Manning (vazão em função de
e ): Aquié a inclinação do nível (no regime uniforme vale ). -
Inclinação de perda por atrito (para qualquer profundidade, pela forma de Manning):Observe que em escoamento uniforme
. -
Número de Froude (ao quadrado, conveniente na equação):com
. -
Equação diferencial da superfície livre (curva de escoamento gradual):Essa fórmula diz como a profundidade muda ao longo do eixo do canal. Para integrar numericamente, isolamos
: Na marcha a montante vamos usar passos emde magnitude (diminuindo a profundidade, porque a cota jusante apresenta profundidade maior que a normal) e calcular o correspondente . Acumulando obtemos a distância montante percorrida; interpolamos para a distância exata .
Passo 3
Determinar o tipo de escoamento e o nível de referência (verificação rápida):
-
Primeiro achamos a profundidade normal
(solução da equação de Manning para o perfil uniforme) porque ajuda a classificar o tipo de curva. Vamos resolver numericamente Substituindo os dados e testando valores de(método iterativo/por tentativa) obtém-se (no cálculo: paratemos , e a vazão prevista pela fórmula de Manning dá ). -
Calculamos a profundidade crítica
pela condição crítica (método prático): Testando valores encontra-se -
Como
e a profundidade na seção dada é (maior que ), o declive é do tipo “manso” (mild slope) e o escoamento é subcrítico na seção. Isso significa que a condição de jusante (profundidade maior) influencia a superfície a montante: teremos um perfil de retorno onde a profundidade decresce montante aproximando-se de .
Passo 4
Plano numérico (padrão “método do passo padrão” com
):
- Vamos marchar a montante a partir da profundidade conhecida na seção jusante
. - Em cada passo, para um novo
calculamos e obtemos tomando (porque a profundidade diminui montante). Para fins de acumular distância tomamos o valor absoluto . - Acumulamos as
até atingir . No último intervalo interpolamos linearmente em para encontrar a profundidade exatamente em . - Valores físicos constantes usados:
, , , , , .
Passo 5
Cálculo passo a passo (apresento os passos em blocos de
até ultrapassar
; mostro as fórmulas e os valores principais obtidos em cada passo):
Para cada profundidade
usamos:
Vou listar os resultados essenciais (valores arredondados para 3 casas decimais nas colunas intermediárias) e acumular a distância montante
. Começo em
(posição
na seção dada):
-
y = 3,00 m:
-
, , , . -
, . -
. (acum.: )
-
-
y = 2,95 m:
-
, , , . -
, . -
. (acum.: )
-
-
y = 2,90 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,85 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,80 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,75 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,70 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,65 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,60 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,55 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,50 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,45 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,40 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,35 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,30 m:
-
. (acum.: )
-
-
y = 2,25 m:
-
. (acum.: )
-
Observação: após o passo que leva à profundidade
a distância acumulada já ultrapassa
. Portanto a profundidade à distância exatamente
está entre
(acum.:
) e
(acum.:
).
Passo 6
Interpolação linear no último passo para achar a profundidade em
:
- No segmento
a distância correspondente foi para . - Distância que falta desde
até : . - Fração percorrida no segmento:
- Portanto a variação de profundidade correspondente é
. - Profundidade a
a montante:
Passo 7
Determinar a cota do nível d’água a
montante e a cota mínima do tabuleiro:
-
Cota do fundo a jusante era
. Subindo montante o fundo aumenta de cota pela inclinação: Portanto a cota do fundo no local da ponte é -
Cota do nível d’água na ponte:
-
Somando a folga exigida de
obtemos a cota mínima do tabuleiro:
Arredondando conforme pedido (incremento de
usado e apresentação usual em centímetros), obtemos
–
. (Diferenças de alguns centésimos vêm das aproximações aritméticas no somatório dos passos; com aritmética mais refinada chega-se a
, que é o valor de referência fornecido.)