- Considere a função
na região triangular limitada pelas retas:
. Determine:
c) Os valores máximo e mínimo absolutos da funcão na região dada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os valores máximo e mínimo absolutos dessa função na região triangular limitada pelas retas
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A região é o triângulo fechado e limitado por essas três retas.
- Os vértices desse triângulo (interseções das retas) são:
-
(interseção de com ), -
(interseção de com ), -
(interseção de com ).
-
- O que se pede: encontrar o valor mínimo absoluto e o valor máximo absoluto de
sobre esse triângulo (e os pontos onde ocorrem).
Passo 2
Plano geral de ataque (o método que vamos aplicar):
- Para funções contínuas em uma região fechada e limitada (como esse triângulo), os extremos absolutos ocorrem ou em pontos críticos internos (onde o gradiente é zero) ou na fronteira. Então:
- Encontrar pontos críticos no interior resolvendo
. - Verificar se o ponto crítico está dentro da região.
- Investigar a fronteira (cada aresta do triângulo) como funções de uma variável: restringir
a cada aresta, encontrar possíveis extremos internos dessas restrições e também avaliar os extremos nos vértices. - Comparar todos os valores obtidos para decidir qual é o mínimo absoluto e qual é o máximo absoluto.
Explicação rápida (didática) do porquê:
- Encontrar pontos críticos no interior resolvendo
- O gradiente
reúne as derivadas parciais; pontos onde são candidatos a extremos locais. - A fronteira do triângulo são segmentos de reta; ao restringir
a cada segmento obtemos funções de uma variável, cujos extremos são dados por derivadas ordinárias ou nas extremidades do segmento.
Agora aplicamos esse plano.
Passo 3
Encontrar pontos críticos no interior:
- Calcular as derivadas parciais:
- Resolver
: - O ponto crítico é
. Verificar se está no triângulo: e , logo pertence ao interior do triângulo.
Classificação do ponto crítico (por ensino rápido):
- A matriz Hessiana é
Essa matriz tem autovalores e , ambos positivos; portanto é definida positiva e o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, para essa quadrática é fácil ver que é o mínimo global na reta inteira se quisermos (pois a função cresce quando cresce). - Podemos também completar quadrados para entender a forma de
: Isso mostra imediatamente que o menor valor possível (no plano) é , alcançado em . Como está dentro do triângulo, esse é um forte candidato ao mínimo absoluto na região.]
Passo 4
Investigar a fronteira (as três arestas). Em cada aresta restringimos
e analisamos.
Aresta 1:
com
.
- Restrição:
- Derivada
. Zera em , que está no intervalo. Valores: -
. - Nos extremos do segmento:
e .
-
Aresta 2:
com
.
- Restrição:
- Derivada
. Zera em , que está no intervalo. Valores: -
. - Nos extremos do segmento:
e .
-
Aresta 3:
. Parametrizar por
,
, com
.
- Restrição:
.
Calcular passo a passo:Simplificar: - Derivada
. Zera em , que está no intervalo. Valores: -
- Nos extremos do segmento:
(ponto ) e (ponto ).
-
Passo 5
Compilar todos os candidatos (pontos onde extremos podem ocorrer) e seus valores:
- Interior:
com - Aresta
: com ; extremos e com . - Aresta
: com ; extremos e com e respectivamente. - Aresta
: ponto crítico com ; extremos e com e respectivamente.
Comparando todos os valores obtidos:
- O menor valor entre todos é
(em ). - O maior valor entre todos é
(em ).
Resposta
Mínimo absoluto:
em
Máximo absoluto: em
Máximo absoluto: