1. Considere a função f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-4 y na região triangular limitada pelas retas:
    x=0, y=0, x+y=4. Determine:
c) Os valores máximo e mínimo absolutos da funcão na região dada.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-4y e pede os valores máximo e mínimo absolutos dessa função na região triangular limitada pelas retas
x=0,\qquad y=0,\qquad x+y=4.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A região é o triângulo fechado e limitado por essas três retas.
  • Os vértices desse triângulo (interseções das retas) são:
    • A=(0,0) (interseção de x=0 com y=0),
    • B=(4,0) (interseção de y=0 com x+y=4),
    • C=(0,4) (interseção de x=0 com x+y=4).
  • O que se pede: encontrar o valor mínimo absoluto e o valor máximo absoluto de f sobre esse triângulo (e os pontos onde ocorrem).

Passo 2

Plano geral de ataque (o método que vamos aplicar):
  • Para funções contínuas em uma região fechada e limitada (como esse triângulo), os extremos absolutos ocorrem ou em pontos críticos internos (onde o gradiente é zero) ou na fronteira. Então:
    1. Encontrar pontos críticos no interior resolvendo \nabla f=(0,0).
    2. Verificar se o ponto crítico está dentro da região.
    3. Investigar a fronteira (cada aresta do triângulo) como funções de uma variável: restringir f a cada aresta, encontrar possíveis extremos internos dessas restrições e também avaliar os extremos nos vértices.
    4. Comparar todos os valores obtidos para decidir qual é o mínimo absoluto e qual é o máximo absoluto.
      Explicação rápida (didática) do porquê:
  • O gradiente \nabla f=(f_x,f_y) reúne as derivadas parciais; pontos onde \nabla f=0 são candidatos a extremos locais.
  • A fronteira do triângulo são segmentos de reta; ao restringir f a cada segmento obtemos funções de uma variável, cujos extremos são dados por derivadas ordinárias ou nas extremidades do segmento.
    Agora aplicamos esse plano.

Passo 3

Encontrar pontos críticos no interior:
  • Calcular as derivadas parciais: f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2,\qquad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=2y-4.
  • Resolver \nabla f=(0,0): 2x-2=0\\ \Rightarrow\\ x=1,\qquad 2y-4=0\\ \Rightarrow\\ y=2.
  • O ponto crítico é (1,2). Verificar se está no triângulo: 1\ge0,\\\ 2\ge0 e 1+2=3\le4, logo (1,2) pertence ao interior do triângulo.
Classificação do ponto crítico (por ensino rápido):
  • A matriz Hessiana é H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.Essa matriz tem autovalores 2 e 2, ambos positivos; portanto H é definida positiva e o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, para essa quadrática é fácil ver que é o mínimo global na reta inteira se quisermos (pois a função cresce quando |(x,y)| cresce).
  • Podemos também completar quadrados para entender a forma de f: f(x,y)=x^{2}-2x+y^{2}-4y=(x-1)^2+(y-2)^2-5.Isso mostra imediatamente que o menor valor possível (no plano) é -5, alcançado em (1,2). Como (1,2) está dentro do triângulo, esse é um forte candidato ao mínimo absoluto na região.]

Passo 4

Investigar a fronteira (as três arestas). Em cada aresta restringimos f e analisamos.
Aresta 1: x=0 com y\in[0,4].
  • Restrição: g_1(y)=f(0,y)=y^{2}-4y=(y-2)^2-4.
  • Derivada g_1'(y)=2(y-2). Zera em y=2, que está no intervalo. Valores:
    • g_1(2)=(2-2)^2-4=-4.
    • Nos extremos do segmento: g_1(0)=0 e g_1(4)=0.
Aresta 2: y=0 com x\in[0,4].
  • Restrição: g_2(x)=f(x,0)=x^{2}-2x=(x-1)^2-1.
  • Derivada g_2'(x)=2(x-1). Zera em x=1, que está no intervalo. Valores:
    • g_2(1)=(1-1)^2-1=-1.
    • Nos extremos do segmento: g_2(0)=0 e g_2(4)=8.
Aresta 3: x+y=4. Parametrizar por x=t, y=4-t, com t\in[0,4].
  • Restrição: g_3(t)=f(t,4-t)=t^{2}+(4-t)^{2}-2t-4(4-t).
    Calcular passo a passo: g_3(t)=t^{2}+16-8t+t^{2}-2t-16+4t=2t^{2}-6t.Simplificar: g_3(t)=2\bigl(t^{2}-3t\bigr)=2\bigl((t-\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{9}{4}\bigr)=2(t-\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{9}{2}.
  • Derivada g_3'(t)=4t-6. Zera em t=\tfrac{3}{2}, que está no intervalo. Valores:
    • g_3(\tfrac{3}{2})=2( \tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{9}{2}=-\tfrac{9}{2}=-4{,}5.
    • Nos extremos do segmento: g_3(0)=0 (ponto (0,4)) e g_3(4)=8 (ponto (4,0)).

Passo 5

Compilar todos os candidatos (pontos onde extremos podem ocorrer) e seus valores:
  • Interior: (1,2) com f(1,2)=(1-1)^2+(2-2)^2-5=-5.
  • Aresta x=0: (0,2) com f(0,2)=-4; extremos (0,0) e (0,4) com f=0.
  • Aresta y=0: (1,0) com f(1,0)=-1; extremos (0,0) e (4,0) com f=0 e f=8 respectivamente.
  • Aresta x+y=4: ponto crítico (\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}) com f=-\tfrac{9}{2}=-4{,}5; extremos (0,4) e (4,0) com f=0 e f=8 respectivamente.
Comparando todos os valores obtidos:
  • O menor valor entre todos é -5 (em (1,2)).
  • O maior valor entre todos é 8 (em (4,0)).

Resposta

Mínimo absoluto: -5 em (1,2)
Máximo absoluto: 8 em (4,0)

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