Questão 1) Encontre o gradiente da função
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o gradiente da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - É pedido
, isto é, o vetor das derivadas parciais em relação a , e .
Passo 2
O que é o gradiente?
O gradiente de uma função de três variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais de
:
O gradiente de uma função de três variáveis
Cada derivada parcial
significa derivar
em relação a
mantendo
e
constantes (e analogamente para as outras variáveis).
Passo 3
Tornar a cadeia de forma clara: defina a função interna
Então podemos escrever
, onde
é
.
Fórmula útil (derivada de
): para uma variável real
,
É essa fórmula que vamos usar como derivada da parte externa.
Passo 4
Regra da cadeia para derivadas parciais: se
, então
e de forma análoga para
e
. Ou seja, derivamos a função externa em função de
e multiplicamos pela derivada parcial da função interna em relação à variável desejada.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais da função interna
:
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia usando
e substituímos
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Escrever o gradiente agrupando o denominador comum: fica claro e compacto escrever
Isto também facilita cálculos numéricos rápidos na prova (basta avaliar
e multiplicar o vetor
pelo escalar
).