Questão 1) Encontre o gradiente da função f(x, y, z)=\tan ^{-1}(2 x+3 y-z).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o gradiente da função f(x,y,z)=\tan^{-1}(2x+3y-z).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=\tan^{-1}(2x+3y-z).
  • É pedido \nabla f, isto é, o vetor das derivadas parciais em relação a x, y e z.

Passo 2

O que é o gradiente?
O gradiente de uma função de três variáveis f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f:
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Cada derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} significa derivar f em relação a x mantendo y e z constantes (e analogamente para as outras variáveis).

Passo 3

Tornar a cadeia de forma clara: defina a função interna
u(x,y,z)=2x+3y-z.
Então podemos escrever f(x,y,z)=\arctan(u), onde \arctan é \tan^{-1}.
Fórmula útil (derivada de \arctan): para uma variável real u,
\frac{d}{du}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
É essa fórmula que vamos usar como derivada da parte externa.

Passo 4

Regra da cadeia para derivadas parciais: se f(x,y,z)=\arctan(u(x,y,z)), então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d}{du}\arctan(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x},
e de forma análoga para y e z. Ou seja, derivamos a função externa em função de u e multiplicamos pela derivada parcial da função interna em relação à variável desejada.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais da função interna u(x,y,z)=2x+3y-z:
\frac{\partial u}{\partial x}=2,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=3,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=-1.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia usando \dfrac{d}{du}\arctan(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}} e substituímos u=2x+3y-z.
Para x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot 2=\frac{2}{1+(2x+3y-z)^{2}}.
Para y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot 3=\frac{3}{1+(2x+3y-z)^{2}}.
Para z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot(-1)=-\frac{1}{1+(2x+3y-z)^{2}}.

Passo 7

Escrever o gradiente agrupando o denominador comum: fica claro e compacto escrever
\nabla f(x,y,z)=\frac{1}{1+(2x+3y-z)^{2}}\,(2,\,3,\,-1).
Isto também facilita cálculos numéricos rápidos na prova (basta avaliar u=2x+3y-z e multiplicar o vetor (2,3,-1) pelo escalar \dfrac{1}{1+u^{2}}).

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\dfrac{1}{1+(2x+3y-z)^{2}}\,(2,\,3,\,-1)

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