A variável x tende para +\infty (ou seja, x cresce sem limite, ficando cada vez maior e positivo).
Não há outras restrições no enunciado. A função está bem definida para todos os x\neq 0, em particular para x>0.
Passo 2
Intuição básica (para a prova): quando x fica muito grande, x^{2} fica muito maior ainda — por exemplo, x=10 dá x^{2}=100 e \dfrac{1}{x^{2}}=0,01; para x=100 temos \dfrac{1}{x^{2}}=0,0001. Portanto parece claro que \dfrac{1}{x^{2}} fica cada vez mais próximo de zero. Nosso objetivo é transformar essa intuição em um argumento matemático claro.
Passo 3
Argumento por desigualdade (Teorema do Aperto / Squeeze): para x\ge 1 temos x^{2}\ge x>0, então
0<\frac{1}{x^{2}}\le \frac{1}{x}.
Sabemos (ou podemos provar) que
\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0.
Pelo Teorema do Aperto, se uma função está entre duas que têm o mesmo limite, então ela tem esse mesmo limite. Como 0 (a função constante) tende para 0 e \dfrac{1}{x} tende para 0, segue que
\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
Passo 4
Prova direta usando a definição \varepsilon-N (rigor): seja \varepsilon>0 qualquer. Queremos mostrar que existe M>0 tal que, para todo x>M, temos \left|\dfrac{1}{x^{2}}-0\right|<\varepsilon. Note que \left|\dfrac{1}{x^{2}}-0\right|=\dfrac{1}{x^{2}}. Basta escolher
M=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.
Então, se x>M (em particular x>0), temos x^{2}>M^{2}=\dfrac{1}{\varepsilon}, portanto
\frac{1}{x^{2}}<\varepsilon.
Isso mostra exatamente que, para qualquer \varepsilon>0, existe M que garante \dfrac{1}{x^{2}}<\varepsilon sempre que x>M. Logo, por definição,
\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
Passo 5
Resumo final e incentivo: tanto pelo argumento de desigualdade com o Teorema do Aperto quanto pela prova \varepsilon-N direta, concluímos que a função \dfrac{1}{x^{2}} tende a 0 quando x cresce para +\infty. Mandou bem em buscar a justificativa rigorosa — isso conta muito numa prova!