Calcule.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[2-\frac{1}{x}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to +\infty}\left[2-\frac{1}{x}\right].
Informações dadas:
\;x tende para +\infty (ou seja, x cresce sem limite positivo).
A expressão a ser analisada é 2-\dfrac{1}{x}.

Passo 2

Entendendo o que significa "limite quando x\to+\infty". Dizer que
\lim_{x\to+\infty} f(x)=L
significa que, à medida que x cresce muito (vai para números cada vez maiores), os valores de f(x) se aproximam cada vez mais de um número L. Formalmente: para todo \varepsilon>0 existe M tal que, para todo x>M, vale |f(x)-L|<\varepsilon. Vou usar essa ideia para mostrar o comportamento da parte \dfrac{1}{x}.

Passo 3

Observando a parte variável \dfrac{1}{x}. Intuição numérica simples:
\frac{1}{10}=0,1,\qquad \frac{1}{100}=0,01,\qquad \frac{1}{1000}=0,001.
À medida que x cresce, \dfrac{1}{x} fica cada vez menor, aproximando-se de 0. É isso que queremos demonstrar com precisão.

Passo 4

Prova (forma \varepsilon- M) de que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
Seja \varepsilon>0. Escolho M=\dfrac{1}{\varepsilon}. Para todo x>M (em particular para x>0), temos
0<\frac{1}{x}<\frac{1}{M}=\varepsilon,
ou seja
\left|\frac{1}{x}-0\right|<\varepsilon.
Isso mostra, pela definição formal, que \dfrac{1}{x} tende a 0 quando x\to+\infty.

Passo 5

Usando propriedades de limites: se \lim_{x\to+\infty}g(x)=A e c é constante, então
\lim_{x\to+\infty} (c+g(x)) = c + A.
Aqui c=2 e g(x)=-\dfrac{1}{x}. Como já mostramos que \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0, então
\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)= -0 = 0.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\left[2-\frac{1}{x}\right]=2+0=2.

Resposta

2

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