Informações dadas: a expressão é \,2-\dfrac{1}{x}\, e a variável x tende para +\infty (ou seja, x cresce sem limite, sempre positivo nas considerações usuais).
Passo 2
Entendendo o que significa \lim_{x\to+\infty} f(x)=L: isso quer dizer que, à medida que x fica arbitrariamente grande, os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L. Formalmente: para todo \varepsilon>0 existe M>0 tal que, para todo x>M, vale |f(x)-L|<\varepsilon.
Passo 3
Vamos estudar a parte variável da função, que é \dfrac{1}{x}. Intuitivamente, quando x cresce muito (por exemplo x=10, x=100, x=1000), o número \dfrac{1}{x} fica cada vez menor: \dfrac{1}{10}=0,1, \dfrac{1}{100}=0,01, \dfrac{1}{1000}=0,001. Portanto parece que
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0.
Quer uma justificativa rígida (epsilon): dado \varepsilon>0, escolha M=\dfrac{1}{\varepsilon}. Para todo x>M (note que x>0 quando tende para +\infty) temos
0<\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{M}=\varepsilon,
logo \left|\dfrac{1}{x}-0\right|<\varepsilon. Isso prova que \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to+\infty.
Passo 4
Agora trate a expressão completa \,2-\dfrac{1}{x}\,. Duas observações úteis:
O limite de uma constante é a própria constante: \displaystyle\lim_{x\to+\infty}2=2.
Se \lim_{x\to+\infty}g(x)=G e \lim_{x\to+\infty}h(x)=H existem, então \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(g(x)\pm h(x)\big)=G\pm H.
Aplicando isso com g(x)=2 e h(x)=\dfrac{1}{x}, e lembrando que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0, obtemos