Calcule os limites indicados, se existirem; se os limites não existirem, especifique a razão.
f(x)= \begin{cases}2 x^{2}-3 x+1, & x<2 \\\\ 1, & x=2 \\\\ -x^{2}+6 x-7, & x>2\end{cases}
i. \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
ii. \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)
iii. \lim _{x \rightarrow 2} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}2 x^{2}-3 x+1, & x<2 \\\\ 1, & x=2 \\\\ -x^{2}+6 x-7, & x>2\end{cases}
e pede três limites:
  • (i) \lim_{x\to2^{+}} f(x) (limite pela direita);
  • (ii) \lim_{x\to2^{-}} f(x) (limite pela esquerda);
  • (iii) \lim_{x\to2} f(x) (limite bilateral, se existir).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<2 a expressão de f é \,2x^{2}-3x+1.
  • Em x=2 o valor de f é \,1.
  • Para x>2 a expressão de f é -x^{2}+6x-7.

Passo 2

Entendendo o que é o limite pela direita: \lim_{x\to2^{+}} f(x) significa o valor que f(x) se aproxima quando x tende a 2 vindo de valores maiores que 2. Quando x>2 a função é dada por -x^{2}+6x-7. Polinômios são funções contínuas, o que quer dizer que o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor do polinômio nesse ponto. Logo,
\lim_{x\to2^{+}} f(x)=\lim_{x\to2^{+}} \bigl(-x^{2}+6x-7\bigr)= - (2)^{2} + 6\cdot(2) - 7.
Agora calculamos passo a passo:
-(2)^{2} = -4, \qquad 6\cdot(2)=12,
-4+12-7 = 8-7 = 1.
Portanto
\lim_{x\to2^{+}} f(x)=1.

Passo 3

Agora o limite pela esquerda: \lim_{x\to2^{-}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x tende a 2 vindo de valores menores que 2. Para x<2 a função é 2x^{2}-3x+1, outro polinômio contínuo. Logo o limite é a avaliação desse polinômio em x=2:
\lim_{x\to2^{-}} f(x)=\lim_{x\to2^{-}} \bigl(2x^{2}-3x+1\bigr)=2\cdot(2)^{2}-3\cdot(2)+1.
Calculando passo a passo:
(2)^{2}=4,\qquad 2\cdot4=8, \qquad -3\cdot2=-6,
8-6+1=2+1=3.
Portanto
\lim_{x\to2^{-}} f(x)=3.

Passo 4

Decidir sobre o limite bilateral \lim_{x\to2} f(x): pela definição, o limite \lim_{x\to2} f(x) existe somente se os limites laterais coincidirem, isto é, se
\lim_{x\to2^{-}} f(x)=\lim_{x\to2^{+}} f(x).
Aqui encontramos \lim_{x\to2^{-}} f(x)=3 e \lim_{x\to2^{+}} f(x)=1; como 3 \neq 1, os limites laterais são diferentes e o limite bilateral não existe. Observação adicional (útil para a prova): o valor da função no ponto x=2 é f(2)=1, mas isso não muda o fato de que o limite bilateral não existe — há uma descontinuidade do tipo salto (jump).

Resposta

i. \,1
ii. \,3
iii. não existe (os limites laterais são diferentes)

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