(ii) \lim_{x\to2^{-}} f(x) (limite pela esquerda);
(iii) \lim_{x\to2} f(x) (limite bilateral, se existir).
Informações relevantes fornecidas:
Para x<2 a expressão de f é \,2x^{2}-3x+1.
Em x=2 o valor de f é \,1.
Para x>2 a expressão de f é -x^{2}+6x-7.
Passo 2
Entendendo o que é o limite pela direita: \lim_{x\to2^{+}} f(x) significa o valor que f(x) se aproxima quando x tende a 2 vindo de valores maiores que 2. Quando x>2 a função é dada por -x^{2}+6x-7. Polinômios são funções contínuas, o que quer dizer que o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor do polinômio nesse ponto. Logo,
Agora o limite pela esquerda: \lim_{x\to2^{-}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x tende a 2 vindo de valores menores que 2. Para x<2 a função é 2x^{2}-3x+1, outro polinômio contínuo. Logo o limite é a avaliação desse polinômio em x=2:
Decidir sobre o limite bilateral \lim_{x\to2} f(x): pela definição, o limite \lim_{x\to2} f(x) existe somente se os limites laterais coincidirem, isto é, se
\lim_{x\to2^{-}} f(x)=\lim_{x\to2^{+}} f(x).
Aqui encontramos \lim_{x\to2^{-}} f(x)=3 e \lim_{x\to2^{+}} f(x)=1; como 3 \neq 1, os limites laterais são diferentes e o limite bilateral não existe. Observação adicional (útil para a prova): o valor da função no ponto x=2 é f(2)=1, mas isso não muda o fato de que o limite bilateral não existe — há uma descontinuidade do tipo salto (jump).
Resposta
i. \,1
ii. \,3
iii. não existe (os limites laterais são diferentes)