Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende para
:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A expressão envolve uma raiz quadrada
subtraída de . - Estamos interessados no comportamento quando
cresce sem limite positivo ( ). - A forma direta
é do tipo , que é uma forma indeterminada e exige manipulação algébrica para avaliar o limite.
Passo 2
Por que não podemos simplesmente “substituir”
por
?
Se tentássemos dizer que e
tendem ambos a
, obteríamos
, que é indeterminado — isso não nos dá o valor do limite. Então precisamos manipular a expressão para uma forma que permita passagem de limite segura.
Se tentássemos dizer que
Uma técnica clássica para essas diferenças com raiz é multiplicar pela conjugada, isto é, por
(que vale
). Essa operação remove a raiz do numerador ao usar a identidade
.
Passo 3
Multiplicando pela conjugada e simplificando:
Agora a expressão está numa forma mais manejável: uma razão onde tanto numerador quanto denominador crescem, mas podemos fatorar
para ver o comportamento quando
.
Passo 4
Fatorando
(positivo para
) no numerador e no denominador para expor termos que tendem a zero:
Aqui usei a identidade
, válida para
.
Passo 5
Agora aplicamos o limite
. Note que
,
e
. A função raiz quadrada é contínua, então
Portanto, tomando limites na expressão da Passo 4,