Calcule
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3 x+4}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{x^{2}+3x+4}-x\Big).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}+3x+4} subtraída de x.
  • Estamos interessados no comportamento quando x cresce sem limite positivo ( x\to+\infty).
  • A forma direta \sqrt{x^{2}+3x+4}-x é do tipo \infty-\infty, que é uma forma indeterminada e exige manipulação algébrica para avaliar o limite.

Passo 2

Por que não podemos simplesmente “substituir” x por +\infty?
Se tentássemos dizer que \sqrt{x^{2}+3x+4} e x tendem ambos a +\infty, obteríamos \infty-\infty, que é indeterminado — isso não nos dá o valor do limite. Então precisamos manipular a expressão para uma forma que permita passagem de limite segura.
Uma técnica clássica para essas diferenças com raiz é multiplicar pela conjugada, isto é, por
\dfrac{\sqrt{x^{2}+3x+4}+x}{\sqrt{x^{2}+3x+4}+x} (que vale 1). Essa operação remove a raiz do numerador ao usar a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.

Passo 3

Multiplicando pela conjugada e simplificando:
\sqrt{x^{2}+3x+4}-x = \big(\sqrt{x^{2}+3x+4}-x\big)\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+3x+4}+x}{\sqrt{x^{2}+3x+4}+x}
= \frac{\big(\sqrt{x^{2}+3x+4}\big)^{2}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3x+4}+x} = \frac{x^{2}+3x+4 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3x+4}+x} = \frac{3x+4}{\sqrt{x^{2}+3x+4}+x}.
Agora a expressão está numa forma mais manejável: uma razão onde tanto numerador quanto denominador crescem, mas podemos fatorar x para ver o comportamento quando x\to+\infty.

Passo 4

Fatorando x (positivo para x\to+\infty) no numerador e no denominador para expor termos que tendem a zero:
\frac{3x+4}{\sqrt{x^{2}+3x+4}+x} = \frac{x\big(3+\frac{4}{x}\big)}{x\big(\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}+1\big)} = \frac{3+\dfrac{4}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}}+1}.
Aqui usei a identidade \sqrt{x^{2}+3x+4}=x\sqrt{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}}, válida para x>0.

Passo 5

Agora aplicamos o limite x\to+\infty. Note que \dfrac{4}{x}\to 0, \dfrac{3}{x}\to 0 e \dfrac{4}{x^{2}}\to 0. A função raiz quadrada é contínua, então
\sqrt{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}}\longrightarrow \sqrt{1+0+0}=1.
Portanto, tomando limites na expressão da Passo 4,
\lim_{x\to+\infty}\frac{3+\dfrac{4}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}}+1} = \frac{3+0}{1+1}=\frac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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