Calcule:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[2-\frac{1}{x}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\left[2-\frac{1}{x}\right].
Informações dadas:
  • A expressão é 2-\dfrac{1}{x}.
  • A variável x tende para +\infty.
    A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?

Passo 2

Entender o comportamento do termo constante. Para qualquer constante a vale que
\lim_{x\to+\infty} a = a,
pois a função constante assume o mesmo valor a para todo x. Aplicando isso ao primeiro termo da expressão, concluímos que
\lim_{x\to+\infty} 2 = 2.

Passo 3

Agora analisar o termo \dfrac{1}{x}. Vou mostrar que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
Demonstração (estilo \varepsilon-prova, curta e direta): seja \varepsilon>0 dado. Se escolhermos
M=\frac{1}{\varepsilon},
então, para todo x>M (e portanto para todo x suficientemente grande positivo), temos
0<\frac{1}{x}<\frac{1}{M}=\varepsilon.
Isso mostra que \dfrac{1}{x} fica arbitrariamente pequeno quando x\to+\infty, logo o limite é 0.

Passo 4

Usar a propriedade algébrica de limites: se \lim_{x\to+\infty} f(x)=L e \lim_{x\to+\infty} g(x)=G são limites finitos, então
\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-g(x)\big)=L-G.
Essa propriedade é válida e permite combinar os limites que já calculamos para os termos da expressão.

Passo 5

Aplicando a propriedade do passo anterior aos termos que já avaliamos:
\lim_{x\to+\infty}\left[2-\frac{1}{x}\right] = \lim_{x\to+\infty}2 \;-\; \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 2-0.
Como checagem numérica rápida para intuição: para x=10 a expressão vale 2-0,1=1,9; para x=100 vale 1,99; para x=1000 vale 1,999. Isso mostra que os valores se aproximam de 2 quando x cresce.

Resposta

2

Exercícios relacionados