Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede calcular o limite quando
tende para pela direita de
- Informações relevantes dadas: numerador é
e denominador é . - O ponto de interesse é
, ou seja, estamos olhando valores de positivos, muito próximos de zero.
Passo 2
Estratégia algébrica prática (fatoração de uma potência de
) e por que funciona.
- Quando
tende a zero, não podemos simplesmente dividir por em , mas podemos manipular a expressão para simplificá‑la para (o limite considera valores próximos de zero, porém diferentes de zero). Uma técnica comum é fatorar a menor potência de que aparece em ambos numerador e denominador. - Observando os expoentes: no numerador os expoentes são
e (menor é ); no denominador são e (menor é ). O menor expoente comum entre numerador e denominador é . Então fatoramos de cima e de baixo. - Aplicando a distributiva:
Passo 3
Cancelamento do fator comum e justificativa.
- Para
podemos simplificar cancelando :
- Justificativa: o limite
depende apenas dos valores de para próximos de e diferentes de . Como a igualdade acima vale para todo , os dois limites (da expressão original e da expressão simplificada) são iguais.
Passo 4
Avaliação do limite da forma simplificada (substituição direta quando possível).
- Agora avaliaremos
- As funções polinomiais são contínuas, então podemos tomar limites separadamente no numerador e no denominador:
- Como o limite do denominador é
, o limite do quociente é o quociente dos limites:
Passo 5
Intuição alternativa (análise por ordens de grandeza) — como pensar rápido na prova.
- Para
muito pequeno, potências maiores de são muito menores. No numerador domina em relação a (pois quando ), e no denominador domina em relação a . - Aproximação grosseira:
- Como
quando , isso confirma o resultado anterior. Essa visão por ordens é útil para estimar limites rapidamente numa prova.
Passo 6
Resumo motivador
- Feito passo a passo: fatoramos, simplificamos, avaliamos e confirmamos com intuição de ordens. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia nessa técnica quando aparecer limite envolvendo polinômios em
.