Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{7}+8 x^{4}}{4 x^{5}+3 x^{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede calcular o limite quando x tende para 0 pela direita de
\frac{x^{7}+8 x^{4}}{4 x^{5}+3 x^{3}}.
  • Informações relevantes dadas: numerador é x^{7}+8x^{4} e denominador é 4x^{5}+3x^{3}.
  • O ponto de interesse é x\to 0^{+}, ou seja, estamos olhando valores de x positivos, muito próximos de zero.

Passo 2

Estratégia algébrica prática (fatoração de uma potência de x) e por que funciona.
  • Quando x tende a zero, não podemos simplesmente dividir por x em x=0, mas podemos manipular a expressão para simplificá‑la para x\neq0 (o limite considera valores próximos de zero, porém diferentes de zero). Uma técnica comum é fatorar a menor potência de x que aparece em ambos numerador e denominador.
  • Observando os expoentes: no numerador os expoentes são 7 e 4 (menor é 4); no denominador são 5 e 3 (menor é 3). O menor expoente comum entre numerador e denominador é 3. Então fatoramos x^{3} de cima e de baixo.
  • Aplicando a distributiva:
\frac{x^{7}+8 x^{4}}{4 x^{5}+3 x^{3}} = \frac{x^{3}\bigl(x^{4}+8x\bigr)}{x^{3}\bigl(4x^{2}+3\bigr)}.

Passo 3

Cancelamento do fator comum e justificativa.
  • Para x\neq0 podemos simplificar cancelando x^{3}:
\frac{x^{3}\bigl(x^{4}+8x\bigr)}{x^{3}\bigl(4x^{2}+3\bigr)} = \frac{x^{4}+8x}{4x^{2}+3}.
  • Justificativa: o limite \lim_{x\to0^{+}} f(x) depende apenas dos valores de f(x) para x próximos de 0 e diferentes de 0. Como a igualdade acima vale para todo x\neq0, os dois limites (da expressão original e da expressão simplificada) são iguais.

Passo 4

Avaliação do limite da forma simplificada (substituição direta quando possível).
  • Agora avaliaremos
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{4}+8x}{4x^{2}+3}.
  • As funções polinomiais são contínuas, então podemos tomar limites separadamente no numerador e no denominador:
\lim_{x\to 0^{+}}(x^{4}+8x)=0+0=0, \qquad \lim_{x\to 0^{+}}(4x^{2}+3)=0+3=3.
  • Como o limite do denominador é 3\neq0, o limite do quociente é o quociente dos limites:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{4}+8x}{4x^{2}+3}=\frac{0}{3}=0.

Passo 5

Intuição alternativa (análise por ordens de grandeza) — como pensar rápido na prova.
  • Para x muito pequeno, potências maiores de x são muito menores. No numerador x^{4} domina em relação a x^{7} (pois x^{4}\gg x^{7} quando x\to0), e no denominador x^{3} domina em relação a x^{5}.
  • Aproximação grosseira:
\frac{x^{7}+8x^{4}}{4x^{5}+3x^{3}}\approx\frac{8x^{4}}{3x^{3}}=\frac{8}{3}x.
  • Como \dfrac{8}{3}x\to0 quando x\to0^{+}, isso confirma o resultado anterior. Essa visão por ordens é útil para estimar limites rapidamente numa prova.

Passo 6

Resumo motivador
  • Feito passo a passo: fatoramos, simplificamos, avaliamos e confirmamos com intuição de ordens. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia nessa técnica quando aparecer limite envolvendo polinômios em x\to0.

Resposta

0

Exercícios relacionados