Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular, se existir, o seguinte limite:
Informações dadas: a expressão da função é
e o ponto onde queremos o limite é
. Não há imagem nem outras condições.
Passo 2
Entender o que significa
. Há duas formas úteis e equivalentes (para números reais) de escrever esta potência:
Explicação didática: a fração
indica primeiro a raiz de ordem
(o denominador) e depois a potência
(o numerador) — ou vice‑versa, pois as regras de potências permitem trocar a ordem quando estamos tratando de raízes ímpares e potências inteiras. Importante: como o denominador é
(ímpar), a raiz cúbica de números negativos está bem definida no conjunto dos reais (por exemplo, a raiz cúbica de
é
). Isso evita problemas que apareceriam se o denominador fosse par.
Passo 3
Calcular a raiz cúbica de
. Sabemos que
, logo
Isso significa que, usando a escrita
, quando
a etapa intermédia dá
.
Passo 4
Elevar ao quadrado o resultado da raiz cúbica. Como
, obtemos
Passo 5
Justificar por que o limite coincide com o valor calculado (continuidade). A função
(raiz cúbica) é contínua em todo
, e a função
também é contínua. A composição de funções contínuas é contínua, portanto
é contínua em
. Para funções contínuas vale que o limite no ponto é o valor da função no ponto; assim
Já calculamos esse valor e deu
.
Passo 6
Resumo rápido (como fazer na prova): ao ver
para
próximo de um número negativo, reescreva como
, calcule a raiz cúbica (possível para denominador ímpar) e em seguida eleve ao quadrado; se a função for contínua no ponto, o limite é simplesmente o valor obtido. Aqui a raiz cúbica de
é
e o quadrado é
.