Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow-8} x^{\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular, se existir, o seguinte limite:
\lim_{x\to -8} x^{\frac{2}{3}}.
Informações dadas: a expressão da função é x^{\frac{2}{3}} e o ponto onde queremos o limite é x=-8. Não há imagem nem outras condições.

Passo 2

Entender o que significa x^{\frac{2}{3}}. Há duas formas úteis e equivalentes (para números reais) de escrever esta potência:
x^{\frac{2}{3}}=\bigl(x^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}\qquad\text{e}\qquad x^{\frac{2}{3}}=\bigl(x^{2}\bigr)^{\frac{1}{3}}.
Explicação didática: a fração \tfrac{2}{3} indica primeiro a raiz de ordem 3 (o denominador) e depois a potência 2 (o numerador) — ou vice‑versa, pois as regras de potências permitem trocar a ordem quando estamos tratando de raízes ímpares e potências inteiras. Importante: como o denominador é 3 (ímpar), a raiz cúbica de números negativos está bem definida no conjunto dos reais (por exemplo, a raiz cúbica de -8 é -2). Isso evita problemas que apareceriam se o denominador fosse par.

Passo 3

Calcular a raiz cúbica de -8. Sabemos que (-2)^{3}=-8, logo
(-8)^{\frac{1}{3}}=-2.
Isso significa que, usando a escrita \bigl(x^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}, quando x=-8 a etapa intermédia dá -2.

Passo 4

Elevar ao quadrado o resultado da raiz cúbica. Como (-2)^{2}=4, obtemos
\bigl((-8)^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}=(-2)^{2}=4.

Passo 5

Justificar por que o limite coincide com o valor calculado (continuidade). A função x\mapsto x^{\frac{1}{3}} (raiz cúbica) é contínua em todo \mathbb{R}, e a função t\mapsto t^{2} também é contínua. A composição de funções contínuas é contínua, portanto x\mapsto \bigl(x^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}=x^{\frac{2}{3}} é contínua em x=-8. Para funções contínuas vale que o limite no ponto é o valor da função no ponto; assim
\lim_{x\to -8} x^{\frac{2}{3}} = (-8)^{\frac{2}{3}}.
Já calculamos esse valor e deu 4.

Passo 6

Resumo rápido (como fazer na prova): ao ver x^{\frac{2}{3}} para x próximo de um número negativo, reescreva como \bigl(x^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}, calcule a raiz cúbica (possível para denominador ímpar) e em seguida eleve ao quadrado; se a função for contínua no ponto, o limite é simplesmente o valor obtido. Aqui a raiz cúbica de -8 é -2 e o quadrado é 4.

Resposta

4

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