Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente em limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que envolvem funções trigonométricas e aplicar algumas propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma propriedade fundamental dos limites envolvendo funções trigonométricas:
. Essa é uma das propriedades básicas que usamos muito em Cálculo.
Passo 3
No nosso caso, temos
no numerador. Para usar a propriedade acima, precisamos ajustar a expressão para que o argumento do seno seja igual ao denominador. Vamos fazer isso dividindo e multiplicando por 3:
Passo 4
Agora, podemos separar o limite em duas partes usando a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites (desde que existam):
Passo 5
Aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 2, sabemos que:
Passo 6
Agora, basta substituir esse resultado de volta na expressão:
Resposta
O limite
é
.