Calcule lim x 0 sen(3 x)2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 sin(3x)2x. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente em limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que envolvem funções trigonométricas e aplicar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma propriedade fundamental dos limites envolvendo funções trigonométricas: limx to 0 sin(x)x = 1. Essa é uma das propriedades básicas que usamos muito em Cálculo.

Passo 3

No nosso caso, temos sin(3x) no numerador. Para usar a propriedade acima, precisamos ajustar a expressão para que o argumento do seno seja igual ao denominador. Vamos fazer isso dividindo e multiplicando por 3:
sin(3x)2x = sin(3x)3x times 3x2x = sin(3x)3x times 32

Passo 4

Agora, podemos separar o limite em duas partes usando a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites (desde que existam):
limx to 0 sin(3x)2x = limx to 0 ( sin(3x)3x times 32 ) = ( limx to 0 sin(3x)3x ) times 32

Passo 5

Aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 2, sabemos que:
limx to 0 sin(3x)3x = 1

Passo 6

Agora, basta substituir esse resultado de volta na expressão:
1 times 32 = 32

Resposta

O limite lim x 0 sin(3x)2x é 32.

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