Resolva a seguinte equação diferencial não homogénea utilizando o método da variação de parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma equação diferencial não homogênea do tipo:
Além disso, temos as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem, especificamente o método da variação de parâmetros. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Isso é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado como:
Portanto, temos uma raiz real dupla $ r = 1 $.
Passo 4
Com uma raiz real dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais depois.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ da equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação de parâmetros para isso. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea, que já temos: $ y_1 = e^{x} $ e $ y_2 = x e^{x} $.
Passo 6
No método da variação de parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $ são funções que vamos determinar.
Passo 7
Para encontrar $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $, precisamos resolver o seguinte sistema:
Onde $ g(x) = e^{x} \sin x $. Vamos calcular $ y’_1 $ e $ y’_2 $:
Passo 8
Substituindo no sistema:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por $ e^{x} $:
Passo 9
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Simplificando:
Então:
Passo 10
Integrando $ u’_2 $:
Podemos ignorar a constante de integração aqui, pois ela será absorvida na solução geral.
Passo 11
Voltando à primeira equação do sistema:
Integrando $ u’_1 $:
Passo 12
Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde:
Então:
Passo 13
Agora, temos $ u_1 $ e $ u_2 $:
Substituindo na expressão da solução particular:
Simplificando:
Passo 14
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 15
Agora, aplicamos as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $ para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, substituindo $ x = 0 $:
Passo 16
Agora, encontramos $ y’(x) $. Derivando a solução geral:
Simplificando:
Substituindo $ x = 0 $ e $ y’(0) = 0 $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: