Resolva a seguinte equação diferencial não homogénea utilizando o método da variação de parâmetros:
y^prime prime-2 y^prime+y=e^x sen x, y(0)=1 e y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma equação diferencial não homogênea do tipo:
y'' - 2 y' + y = e^x sin x
Além disso, temos as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem, especificamente o método da variação de parâmetros. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 2 y' + y = 0
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
y = e^rx

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Isso é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado como:
(r - 1)^2 = 0
Portanto, temos uma raiz real dupla $ r = 1 $.

Passo 4

Com uma raiz real dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
r = 1
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais depois.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ da equação não homogênea:
yp(x)
Vamos usar o método da variação de parâmetros para isso. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea, que já temos: $ y_1 = e^{x} $ e $ y_2 = x e^{x} $.

Passo 6

No método da variação de parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
yp = u1(x) y1 + u2(x) y2
Onde $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $ são funções que vamos determinar.

Passo 7

Para encontrar $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $, precisamos resolver o seguinte sistema:
u1(x)
Onde $ g(x) = e^{x} \sin x $. Vamos calcular $ y’_1 $ e $ y’_2 $:
u2(x)

Passo 8

Substituindo no sistema:
u'1 e^x + u'2 x e^x = 0 u'1 e^x + u'2 (e^x + x e^x) = e^x sin x
Podemos simplificar dividindo toda a equação por $ e^{x} $:
e^x

Passo 9

Subtraindo a primeira equação da segunda:
[u'1 + u'2 (1 + x)] - [u'1 + u'2 x] = sin x
Simplificando:
u'2 = sin x
Então:
u'2 = sin x

Passo 10

Integrando $ u’_2 $:
u'2
Podemos ignorar a constante de integração aqui, pois ela será absorvida na solução geral.

Passo 11

Voltando à primeira equação do sistema:
u'1 + u'2 x = 0 implies u'1 = -x u'2 = -x sin x
Integrando $ u’_1 $:
u'1

Passo 12

Vamos resolver a integral:
u1 = -integral x sin x , dx
Usando integração por partes, onde:
u = x implies du = dx dv = sin x , dx implies v = -cos x
Então:
u1 = - [ -x cos x + integral cos x , dx ] = x cos x - sin x

Passo 13

Agora, temos $ u_1 $ e $ u_2 $:
u1
Substituindo na expressão da solução particular:
u2
Simplificando:
u1 = x cos x - sin x, u2 = -cos x

Passo 14

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
y(x) = yh + yp = (C1 + C2 x) e^x - sin x , e^x

Passo 15

Agora, aplicamos as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $ para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, substituindo $ x = 0 $:
y(0) = 1

Passo 16

Agora, encontramos $ y’(x) $. Derivando a solução geral:
y'(x)
Simplificando:
y'(x) = [ C2 e^x + (C1 + C2 x) e^x ] - [cos x , e^x + sin x , e^x]
Substituindo $ x = 0 $ e $ y’(0) = 0 $:
y'(x) = (C1 + C2 + C2 x) e^x - e^x (cos x + sin x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^x ( 1 - sin x )

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