É verdade que existe algum
tal que
.
Passo 1
Vamos analisar a questão de saber se existe algum valor de $ x $ tal que $ \cos(x) = x^{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, observamos as duas funções envolvidas:
- $ \cos(x) $ é uma função que oscila entre
e . - $ x^{2} $ é uma função que sempre resulta em valores positivos e cresce conforme $ x $ aumenta ou diminui.
Passo 3
Vamos focar no intervalo $ x \in [0, 1] $. Fora desse intervalo:
- Para $ x > 1 $ ou $ x < -1 $, $ x^{2} $ será maior que
, enquanto $ \cos(x) $ permanece entre e . - Portanto, é mais interessante verificar dentro desse intervalo.
Passo 4
Calculamos os valores das funções nos extremos do intervalo:
-
Para $ x = 0 $:Então, $ \cos(0) > 0^{2} $.
-
Para $ x = 1 $:Então, $ \cos(1) < 1^{2} $.
Passo 5
Como as funções $ \cos(x) $ e $ x^{2} $ são contínuas no intervalo
, e temos que:
- Em $ x = 0 $, $ \cos(x) - x^{2} > 0 $.
- Em $ x = 1 $, $ \cos(x) - x^{2} < 0 $.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um valor de $ x $ no intervalo
onde $ \cos(x) - x^{2} = 0 $, ou seja, $ \cos(x) = x^{2} $.
Resposta
Sim, existe pelo menos um valor de $ x $ no intervalo
que satisfaz a equação $ \cos(x) = x^{2} $.