Mostre que a função
do conjunto de números reais para o conjunto dos números reais não negativos não é inversivel, mas se o dominio é restrito ao conjunto dos números reais não negativos, então a função resultante é inversivel.
Passo 1
Aqui temos um exercício sobre funções inversas. A função dada é $ f(x) = |x| $, que mapeia números reais para números reais não negativos. Vamos mostrar primeiro que essa função não tem inversa no seu domínio completo. Depois, vamos ver que se restringirmos o domínio aos números reais não negativos, sim, a função se torna inversível.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser inversível. Uma função tem uma inversa se cada valor da imagem corresponde a um e somente um valor do domínio. Isso é chamado de função “injetora” ou “biyetora”.
Passo 3
Vamos verificar se $ f(x) = |x| $ é injetora no domínio dos números reais. Para ser injetora, se $ f(a) = f(b) $, então $ a = b $.
Passo 4
Considere dois valores diferentes, por exemplo, $ a = 2 $ e $ b = -2 $. Temos:
Aqui, $ f(2) = f(-2) $, mas $ 2 \neq -2 $. Isso mostra que a função não é injetora no domínio completo dos números reais.
Passo 5
Como a função não é injetora, ela não possui uma inversa no domínio completo dos números reais.
Passo 6
Agora, vamos restringir o domínio da função aos números reais não negativos, ou seja, consideramos $ x \geq 0 $.
Passo 7
Com $ x \geq 0 $, a função $ f(x) = |x| $ simplifica para $ f(x) = x $, já que $ x $ é não negativo.
Passo 8
Essa nova função $ f(x) = x $ é claramente injetora, porque se $ f(a) = f(b) $, então $ a = b $.
Passo 9
Como a função é agora injetora, ela possui uma inversa. Na verdade, a inversa de $ f(x) = x $ é ela mesma, $ f^{-1}(x) = x $.
Resposta
Assim, a função $ f(x) = |x| $ não é inversível no domínio dos números reais, mas ao restringir o domínio aos números reais não negativos, ela se torna inversível com a função inversa $ f^{-1}(x) = x $.