Calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2 para a expressão
. Isso envolve o conceito de limites em cálculo, especialmente quando lidamos com formas que resultam em indeterminação, como $ \frac{0}{0} $. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital e entender um pouco sobre derivadas.
Passo 2
Vamos começar substituindo $ x = 2 $ na expressão para ver o que acontece:
Aqui, obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos usar a Regra de L’Hospital para continuar.
Passo 3
A Regra de L’Hospital nos diz que se o limite de
resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
Derivada do numerador $ 3x \cdot \sin(x - 2) $:
Usando a regra do produto:
Derivada do denominador $ x^{2} - 4 $:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, substituímos as derivadas na expressão do limite:
Vamos novamente substituir $ x = 2 $:
Resposta
O limite é $ \frac{3}{2} $.