Calcule lim x 2 3 x sen(x-2)x^2-4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2 para a expressão x . Isso envolve o conceito de limites em cálculo, especialmente quando lidamos com formas que resultam em indeterminação, como $ \frac{0}{0} $. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital e entender um pouco sobre derivadas.

Passo 2

Vamos começar substituindo $ x = 2 $ na expressão para ver o que acontece:
x = 2
Aqui, obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos usar a Regra de L’Hospital para continuar.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que se o limite de f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
Derivada do numerador $ 3x \cdot \sin(x - 2) $:
Usando a regra do produto:
3x cdot sin(x - 2)
Derivada do denominador $ x^{2} - 4 $:
ddx[3x cdot sin(x - 2)] = 3 cdot sin(x - 2) + 3x cdot cos(x - 2)

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, substituímos as derivadas na expressão do limite:
limx 2 3 cdot sin(x - 2) + 3x cdot cos(x - 2)2x
Vamos novamente substituir $ x = 2 $:
x = 2

Resposta

O limite é $ \frac{3}{2} $.

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