Considere a equação diferencial a seguir:
Determine o par de soluções fundamentais dessa equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar usar métodos de equações de Euler ou tentar uma solução por substituição. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Dividimos todos os termos por $ t^{2} $ (já que $ t > 0 $) para deixar a equação em uma forma mais manejável:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
onde:
Passo 3
Observando a equação, percebemos que ela se assemelha a uma equação de Euler, que tem a forma:
Para equações de Euler, assumimos uma solução do tipo $ y = t^{r} $. Vamos tentar essa abordagem aqui.
Passo 4
Assumimos $ y = t^{r} $. Então, as derivadas são:
Substituindo $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Simplificando cada termo:
Fatorando $ t^{r} $:
Simplificando dentro do colchete:
Aqui, notamos que a equação resultante depende de $ t $, o que indica que nossa suposição inicial $ y = t^{r} $ não resolve diretamente a equação. Precisamos tentar outro método.
Passo 5
Vamos tentar uma substituição para reduzir a equação a uma forma mais simples. Vamos definir uma nova função $ z = \frac{y’}{y} $. Então:
Substituindo $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Dividindo todos os termos por $ y $ (assumindo $ y \neq 0 $):
Passo 6
Agora, temos uma equação para $ z $:
Vamos reorganizar:
Dividindo tudo por $ t^{2} $:
Isso ainda está complicado. Talvez uma outra substituição seja necessária. Vamos tentar separar termos.
Passo 7
Vamos tentar rearranjar a equação para $ z’ $:
Agora, podemos ver isso como uma equação diferencial de Riccati para $ z $. Resolver essa equação pode ser complexo, então vamos tentar encontrar uma solução particular.
Assumamos que $ z $ tem uma forma simples, por exemplo, $ z = \frac{A}{t} $, onde $ A $ é uma constante a ser determinada.
Passo 8
Assumindo $ z = \frac{A}{t} $, então:
Substituindo na equação para $ z’ $:
Simplificando:
Multiplicando tudo por $ t^{2} $ para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Para que essa igualdade seja válida para todo $ t $, os coeficientes de cada potência de $ t $ devem ser iguais a zero:
Para $ t $:
Para os termos constantes:
Substituindo $ A = 1 $:
Isso confirma que nossa suposição $ z = \frac{1}{t} $ é válida.
Passo 9
Sabemos que $ z = \frac{y’}{y} = \frac{1}{t} $. Então:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver separando as variáveis. Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Exponenciando ambos os lados para resolver para $ y $:
onde $ K = e^{C} $ é uma constante arbitrária.
Passo 10
Encontramos uma solução particular $ y_{1} = t $. Agora, precisamos encontrar a segunda solução linearmente independente. Para isso, usamos o método da redução de ordem. Assumimos que a segunda solução tem a forma:
Recall que $ P(t) = -\frac{t + 2}{t} $. Vamos calcular os componentes necessários.
Passo 11
Primeiro, calculamos $ \int P(t) dt $:
Então,
Agora, sabemos que $ y_{1} = t $, então $ y_{1}^{2} = t^{2} $.
Passo 12
Substituindo na fórmula para $ y_{2} $:
Como queremos uma solução independente de $ y_{1} $, podemos ignorar o termo $ C t $. Então,
Resposta
As soluções fundamentais da equação diferencial dada são: