Calcule lim x 0 x sen(x)sen^2(pi x).

Passo 1

Enunciado e conteúdo: O problema pede para calcular
limx 0 x,sen(x)sen^2(pi x)
Esse tipo de limite envolve funções trigonométricas que tendem a zero. Vamos usar desenvolvimento em séries (expansão de Taylor) de sen(x) para aproximar a expressão.

Passo 2

Expansão de Taylor de sen(x) no entorno de zero: sabemos que para yto0
sen(y)=y+o(y)
Logo, aplicando em y=x e y=pi x, temos
sen(x)=x+o(x)
sen(pi x)=pi x+o(x)

Passo 3

Substituição e simplificação: substituindo as aproximações na expressão do limite, obtemos
x,(x+o(x))(pi x+o(x))^2= x^2+o(x^2)pi^2 x^2+o(x^2)
Dividindo numerador e denominador por x^2 e observando que o(x^2)/x^2to0 quando xto0, o limite fica
1+0pi^2+0=1pi^2

Resposta

1pi^2

Exercícios relacionados