Calcule:
lim x 0 x sin (1x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0 x,sin!l(tfrac1xr)
O conteúdo aqui é limite de produto em que uma parte oscila ( sin(1/x) ) e a outra tende a zero ( x ). Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Sabemos que para todo t vale
-1 <= sin(t) <= 1
Substituindo t = tfrac1x, obtemos
-1 <= sin!l(tfrac1xr) <= 1
Multiplicando essa desigualdade por x, e observando que pm xsin(1/x) = pm|x|, segue
-|x| <= x,sin!l(tfrac1xr) <= |x|

Passo 3

Agora calculamos os limites das funções que encimam e aprisionam xsin(1/x):
limxto0 -|x| = 0 e limxto0 |x| = 0
Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária também tende a esse mesmo valor.

Resposta

0

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