Questão 28

Considere o PPL
max & 2 x1+3 x2 & x1+x2 <= 2 & 4 x1+6 x2 <= 12 & x1, x2 >= 0
(1) Esboce a região viável do problema.
(2) Encontre dois pontos extremos pertecentes a região viável do problema.
(3) Classifique o problema quanto ao tipo solução.
(4) Qual a solução ótima do problema?
(5) Qual o valor ótimo do problema?

Passo 1

O enunciado define o PPL
max 2x1+3x2
sujeito a
x1+x2<=2,
4x1+6x2<=12,
x1,x2>=0
Este é um problema de programação linear em duas variáveis cujo conjunto viável é um polígono convexo. Para resolver, vamos (i) esboçar a região viável traçando as retas de igualdade das restrições, (ii) determinar os vértices dessa região, (iii) classificar o tipo de solução, e (iv) avaliar a função-objetivo nesses vértices para encontrar o ótimo.

Passo 2

Traçamos as fronteiras:
x1+x2=2
tem interceptos (0,2) e (2,0),
4x1+6x2=12
tem interceptos (0,2) e (3,0).
Como para x1>0 se verifica
2 - x1 ;<=; 2 - tfrac23,x1,
a reta x1+x2=2 é sempre “mais baixa” que 4x1+6x2=12 no primeiro quadrante. Logo a região viável é o triângulo com vértices
(0,0),(2,0),(0,2)

Passo 3

Os pontos extremos (vértices) dessa região são
(0,0),(2,0),(0,2)
Por exemplo, dois deles são (2,0) e (0,2).

Passo 4

A região viável é limitada e não vazia, e a função-objetivo é linear. Portanto o problema é viável e limitado, tem solução ótima em algum vértice e essa solução será única (não há direção de crescimento não contida).

Passo 5

Avaliação de f(x1,x2)=2x1+3x2 nos vértices:
f(0,0)=0, f(2,0)=4, f(0,2)=6
O valor máximo ocorre em (0,2), com valor 6.

Resposta

(1) Região viável: triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,2).
(2) Dois pontos extremos: (2,0) e (0,2).
(3) Classificação: problema viável e limitado, solução ótima única.
(4) Solução ótima: (x1^*,x2^*)=(0,2).
(5) Valor ótimo: 6.

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