Encontre o erro no seguinte cálculo:
lim x -infty(raiz[3]x^3-x^2+2-x) & stackrel(1)= lim x -infty(x raiz[3]1-1x+2x^3-x) & stackrel(2)= lim x -infty(x raiz[3]1-0+0-x) & stackrel(3)= lim x -infty(x-x) & stackrel(4)= 0
Encontre o valor correto do limite acima! (Tarefa!)

Passo 1

O enunciado pede
limxto -inftyl(raiz[3]x^3-x^2+2-xr),
que é uma forma do tipo “ -infty-!(-infty)”. Para resolver isso, vamos usar fatoração dentro da raiz e depois um desenvolvimento assintótico da raiz cúbica.

Passo 2

Fatoramos x^3 dentro da raiz cúbica:
raiz[3]x^3-x^2+2 = raiz[3]x^3!l(1-tfrac1x+tfrac2x^3r) = x ,raiz[3]1-tfrac1x+tfrac2x^3
Isso é válido para xto -infty porque a raiz cúbica de x^3 é exatamente x.

Passo 3

Escrevemos então
raiz[3]x^3-x^2+2-x = xl(raiz[3]1-tfrac1x+tfrac2x^3 - 1r)
Agora precisamos do comportamento de raiz[3]1-tfrac1x+tfrac2x^3 até ordem 1/x, pois xto -infty multiplica essa diferença.

Passo 4

Fazemos o desenvolvimento
raiz[3]1+u = 1 + tfrac13,u + o(u) para uto0
Aqui u = -tfrac1x + tfrac2x^3. Então até ordem 1/x:
raiz[3]1-tfrac1x+tfrac2x^3 = 1 + tfrac13l(-tfrac1x+tfrac2x^3r) + ol(tfrac1xr) = 1 - tfrac13x + ol(tfrac1xr)

Passo 5

Substituindo na expressão do Passo 3:
raiz[3]x^3-x^2+2-x = xl[l(1 - tfrac13x + o(tfrac1x)r) - 1r] = xl(-tfrac13x + o(tfrac1x)r) = -tfrac13 + o(1)
Fica claro que, ao avançar xto -infty, a parte o(1) some e o limite é -tfrac13.

Resposta

limxto -inftyl(raiz[3]x^3-x^2+2-xr) ;=; -13

Exercícios relacionados