Calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 para a expressão $ \frac{\sin(5x{3})}{7x{3}} $. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente lidando com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos lembrar de uma regra fundamental dos limites envolvendo o seno e fazer algumas manobras algébricas simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um limite muito importante que é:
Esse limite nos diz que, quando $ u $ se aproxima de 0, a fração $ \frac{\sin(u)}{u} $ se aproxima de 1. Vamos usar essa ideia para nossa expressão.
Passo 3
Na nossa expressão, temos $ \sin(5x^{3}) $ no numerador e $ 7x^{3} $ no denominador. Para aplicar o limite que lembramos, queremos ter algo parecido com $ \frac{\sin(u)}{u} $. Então, vamos manipular a expressão para isso.
Passo 4
Vamos reescrever o denominador para introduzir o $ 5x^{3} $, que é o que está dentro do seno:
Aqui, dividimos e multiplicamos por $ 5x^{3} $ para reorganizar a expressão.
Passo 5
Observamos que $ \frac{\sin(5x{3})}{5x{3}} $ se encaixa na forma do limite que conhecemos. Assim, podemos separar os limites:
Passo 6
Agora, aplicando o limite conhecido:
Portanto, a expressão fica:
Resposta
O limite é igual a $ \frac{5}{7} $.