Calcule:
lim x 0 sin (5 x^3)7 x^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 para a expressão $ \frac{\sin(5x{3})}{7x{3}} $. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente lidando com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos lembrar de uma regra fundamental dos limites envolvendo o seno e fazer algumas manobras algébricas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um limite muito importante que é:
limu 0 sin(u)u = 1
Esse limite nos diz que, quando $ u $ se aproxima de 0, a fração $ \frac{\sin(u)}{u} $ se aproxima de 1. Vamos usar essa ideia para nossa expressão.

Passo 3

Na nossa expressão, temos $ \sin(5x^{3}) $ no numerador e $ 7x^{3} $ no denominador. Para aplicar o limite que lembramos, queremos ter algo parecido com $ \frac{\sin(u)}{u} $. Então, vamos manipular a expressão para isso.

Passo 4

Vamos reescrever o denominador para introduzir o $ 5x^{3} $, que é o que está dentro do seno:
5x^3
Aqui, dividimos e multiplicamos por $ 5x^{3} $ para reorganizar a expressão.

Passo 5

Observamos que $ \frac{\sin(5x{3})}{5x{3}} $ se encaixa na forma do limite que conhecemos. Assim, podemos separar os limites:
sin(5x^3)5x^3

Passo 6

Agora, aplicando o limite conhecido:
limx 0 sin(5x^3)5x^3 = 1
Portanto, a expressão fica:
1 times 57 = 57

Resposta

O limite é igual a $ \frac{5}{7} $.

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