Considere a funçāo f(x)=-x^3+6 x^2-8 x. Determine:
Os intervalos de concavidade para cima/baixo de f e seus pontos de inflexão; caso existam.

Passo 1

Temos a função f(x) = -x^3 + 6x^2 - 8x. O objetivo é achar onde ela é côncava para cima e para baixo, e verificar se há pontos de inflexão, usando as derivadas.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar que concavidade é dada pelo sinal da derivada segunda f''(x), então precisamos calcular f'(x) e f''(x).

Passo 3

Derivando f(x) em relação a x usando a regra do poder, obtemos:
f'(x) = -3x^2 + 12x - 8

Passo 4

Derivando f'(x) para achar f''(x), temos:
f''(x) = -6x + 12

Passo 5

Para achar candidatos a ponto de inflexão, resolvemos f''(x)=0:
-6x + 12 = 0 implies x = 2

Passo 6

Agora verificamos o sinal de f''(x) em cada intervalo determinado por x=2:
  • Se x<2, então -6x+12>0, logo concavidade para cima.
  • Se x>2, então -6x+12<0, logo concavidade para baixo.

Passo 7

Como a concavidade muda de cima para baixo em x=2, esse é um ponto de inflexão. Calculamos f(2):
f(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 - 8cdot2 = -8 + 24 - 16 = 0

Resposta

Concavidade para cima em (2,0), concavidade para baixo em e ponto de inflexão em .

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