Considere a funçāo
. Determine:
Os intervalos de concavidade para cima/baixo de
e seus pontos de inflexão; caso existam.
Os intervalos de concavidade para cima/baixo de
Passo 1
Temos a função
. O objetivo é achar onde ela é côncava para cima e para baixo, e verificar se há pontos de inflexão, usando as derivadas.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar que concavidade é dada pelo sinal da derivada segunda
, então precisamos calcular
e
.
Passo 3
Derivando
em relação a
usando a regra do poder, obtemos:
Passo 4
Derivando
para achar
, temos:
Passo 5
Para achar candidatos a ponto de inflexão, resolvemos
:
Passo 6
Agora verificamos o sinal de
em cada intervalo determinado por
:
- Se
, então , logo concavidade para cima. - Se
, então , logo concavidade para baixo.
Passo 7
Como a concavidade muda de cima para baixo em
, esse é um ponto de inflexão. Calculamos
:
Resposta
Concavidade para cima em
, concavidade para baixo em
e ponto de inflexão em
.