Calcule
lim x 0 tg 3 x-sen xsen^3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0tan(3x)-sin xsin^3x. Esse tipo de problema cai no tema de limites envolvendo funções trigonométricas e requer um desenvolvimento em série de Taylor em torno de x=0 até a ordem necessária.

Passo 2

Precisamos das expansões em série de Taylor até o termo de ordem x^3 para as funções sin x e tan x:
sin x = x - x^36 + O(x^5),
tan x = x + x^33 + O(x^5)

Passo 3

Para usar no nosso numerador, aplicamos a expansão de tan x em 3x:
tan(3x) = 3x + (3x)^33 + O(x^5) = 3x + 9x^3 + O(x^5)
E já temos
sin x = x - x^36 + O(x^5)

Passo 4

Agora montamos o numerador:
tan(3x) - sin x = l(3x + 9x^3 + O(x^5)r) - l(x - tfracx^36 + O(x^5)r) = 2x + 556x^3 + O(x^5)

Passo 5

E a parte de baixo é
sin^3x = l(x - tfracx^36 + O(x^5)r)^3 = x^3 + O(x^5)

Passo 6

Dividindo as duas séries:
tan(3x)-sin xsin^3x = 2x + tfrac556x^3 + O(x^5)x^3 + O(x^5) = 2xx^3 + 556 + O(x^2) = 2x^2 + 556 + O(x^2)
Como 2x^2 cresce sem limite positivo quando xto0, o quociente diverge para +infty.

Resposta

O limite é +\infty.

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