Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a soluçã̃o da equaçăo homogênea associada L(y)=0 for yA=c1 e^5 x cos 3 x+c2 e^5 x sen 3 x.
phi(x)=2 sen 4 x-cos 7 x

Passo 1

Vamos resolver a equação não homogênea ,yA=c1e^5xcos3x+c2e^5xsin3x sabendo que a solução geral da homogênea é $,y_A=c_1e{5x}\cos3x+c_2e{5x}\sin3x$. O método que vamos usar é o método dos coeficientes indeterminados, aplicável quando o termo força é combinação de funções simples (aqui senos e cossenos).

Passo 2

Pelo método dos coeficientes indeterminados, para cada termo seno ou cosseno de frequência omega no lado direito, supomos um particular da forma e Acos(omega x)+Bsin(omega x) Como temos dois termos, (2sin4x, vamos propor um somatório de duas famílias de senos e cossenos.

Passo 3

É preciso checar se as raízes associadas a pm4i ou pm7i coincidem com as raízes da equação característica homogênea (que são 5pm3i). Como não coincidem, não precisamos multiplicar por x. Portanto, o palpite para a solução particular é dado abaixo.

Resposta

A forma de uma solução particular é
$ yp(x)=Acos4x+Bsin4x+Ccos7x+Dsin7x

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