Calcule.
lim x 0 x-tg xx+tg x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente calcular
limx to 0 x - tgx,x + tgx,
Aqui o conteúdo é limites de funções e a gente vai usar a regra de L’Hôpital porque, ao substituir , dá uma forma “0/0”. Então você vai precisar saber:
  • O que é forma indeterminada “0/0”.
  • A regra de L’Hôpital (quando aplicar e como).
  • A derivada de , que é .

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que rola se simplesmente botarmos 0 - tg(0)0 + tg(0) =0 - 00 + 0=00 :
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
Isso é uma forma indeterminada “0/0”, então não dá pra concluir o limite direto. Aí a gente aplica a regra de L’Hôpital, que diz:
Se e , então
desde que esse novo limite exista.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Numerador f'(x)=ddx(x) - ddx(tgx) =1 - sec^2 x g'(x)=ddx(x) + ddx(tgx) =1 + sec^2 x
  • Denominador

Passo 4

Agora o limite original vira
limxto 0f'(x)g'(x) =limxto 01 - sec^2 x1 + sec^2 x
Sabendo que 1 - 11 + 1 =02 =0 , a gente substitui:

Resposta

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