Calcule lim x 0^+(x+e^3 x)^32 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de zero pela direita da expressão $ \left(x + e{3x}\right){\frac{3}{2x}} $. Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente em limites envolvendo funções exponenciais e potências. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites, logaritmos e algumas regras de exponenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro do limite:
(x + e^3x)^32x
Quando $ x $ se aproxima de zero, $ e^{3x} $ se aproxima de $ e^{0} = 1 $. Então, a expressão dentro dos parênteses se aproxima de $ x + 1 $. Mas, como o expoente está dependendo de $ x $, precisamos analisar com mais cuidado.

Passo 3

Para facilitar, vamos trabalhar com o logaritmo natural. Sabemos que:
limx to a f(x)^g(x) = e^limx to a g(x) cdot ln(f(x))
Então, aplicando isso ao nosso limite:
limx to 0^+ (x + e^3x)^32x = e^limx to 0^+ 32x cdot ln(x + e^3x)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dentro do expoente:
limx to 0^+ 32x cdot ln(x + e^3x)
Sabemos que quando $ x $ tende a zero, $ e^{3x} \approx 1 + 3x $ usando a expansão de Taylor. Então:
x
Portanto:
e^3x approx 1 + 3x

Passo 5

Substituindo de volta no limite:
limx to 0^+ 32x cdot 4x = limx to 0^+ 12x2x = limx to 0^+ 6 = 6

Passo 6

Agora, voltando à expressão original:
e^limx to 0^+ 32x cdot ln(x + e^3x) = e^6

Resposta

O valor do limite é $ e^{6} $.

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