Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de zero pela direita da expressão $ \left(x + e{3x}\right){\frac{3}{2x}} $. Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente em limites envolvendo funções exponenciais e potências. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites, logaritmos e algumas regras de exponenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão dentro do limite:
Quando $ x $ se aproxima de zero, $ e^{3x} $ se aproxima de $ e^{0} = 1 $. Então, a expressão dentro dos parênteses se aproxima de $ x + 1 $. Mas, como o expoente está dependendo de $ x $, precisamos analisar com mais cuidado.
Passo 3
Para facilitar, vamos trabalhar com o logaritmo natural. Sabemos que:
Então, aplicando isso ao nosso limite:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dentro do expoente:
Sabemos que quando $ x $ tende a zero, $ e^{3x} \approx 1 + 3x $ usando a expansão de Taylor. Então:
Portanto:
Passo 5
Substituindo de volta no limite:
Passo 6
Agora, voltando à expressão original:
Resposta
O valor do limite é $ e^{6} $.