Seja
uma função derivável até a
ordem em
que satisfaz a equação
, para todo
.
Verifique que
.
Verifique que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ que é diferenciável até a segunda ordem em todo o conjunto dos números reais e que satisfaz a equação diferencial $ f’’(x) + 4f(x) = 0 $. Nosso objetivo é verificar que a derivada da expressão $ f’(x) \cdot \sin(2x) - 2f(x) \cdot \cos(2x) $ é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a expressão cuja derivada precisamos calcular:
Queremos encontrar $ \frac{d}{dx}g(x) $ e mostrar que é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ g(x) $ usando a regra do produto. A derivada de uma função que é produto de duas funções, digamos $ u(x) \cdot v(x) $, é dada por:
Aplicando isso à expressão $ g(x) $:
Passo 4
Agora, somamos as derivadas encontradas:
Simplificando os termos:
Os termos $ 2f’(x) \cdot \cos(2x) $ e $ -2f’(x) \cdot \cos(2x) $ se cancelam:
Passo 5
Lembrando da equação diferencial dada na questão, sabemos que:
Substituindo isso na expressão:
Resposta
Portanto, $ \frac{d}{dx}\left[f^{\prime}(x) \cdot \sin(2x) - 2f(x) \cdot \cos(2x)\right] = 0 $.