Seja f uma função derivável até a 2^a ordem em (-infty, infty) que satisfaz a equação f^prime prime(x)+4 f(x)=0, para todo x in(-infty, infty).
Verifique que dd x[f^prime(x) cdot sen(2 x)-2 f(x) cdot cos (2 x)]=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ que é diferenciável até a segunda ordem em todo o conjunto dos números reais e que satisfaz a equação diferencial $ f’’(x) + 4f(x) = 0 $. Nosso objetivo é verificar que a derivada da expressão $ f’(x) \cdot \sin(2x) - 2f(x) \cdot \cos(2x) $ é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão cuja derivada precisamos calcular:
g(x) = f'(x) cdot sin(2x) - 2f(x) cdot cos(2x)
Queremos encontrar $ \frac{d}{dx}g(x) $ e mostrar que é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ g(x) $ usando a regra do produto. A derivada de uma função que é produto de duas funções, digamos $ u(x) \cdot v(x) $, é dada por:
g(x)
Aplicando isso à expressão $ g(x) $:
u(x) cdot v(x)
ddx[u(x) cdot v(x)] = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)

Passo 4

Agora, somamos as derivadas encontradas:
ddxg(x) = [f''(x) cdot sin(2x) + 2f'(x) cdot cos(2x)] + [-2f'(x) cdot cos(2x) + 4f(x) cdot sin(2x)]
Simplificando os termos:
ddxg(x) = f''(x) cdot sin(2x) + 2f'(x) cdot cos(2x) - 2f'(x) cdot cos(2x) + 4f(x) cdot sin(2x)
Os termos $ 2f’(x) \cdot \cos(2x) $ e $ -2f’(x) \cdot \cos(2x) $ se cancelam:
2f'(x) cdot cos(2x)

Passo 5

Lembrando da equação diferencial dada na questão, sabemos que:
f''(x) = -4f(x)
Substituindo isso na expressão:
ddxg(x) = (-4f(x)) cdot sin(2x) + 4f(x) cdot sin(2x) = -4f(x)sin(2x) + 4f(x)sin(2x) = 0

Resposta

Portanto, $ \frac{d}{dx}\left[f^{\prime}(x) \cdot \sin(2x) - 2f(x) \cdot \cos(2x)\right] = 0 $.

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