Encontre a série de Laurent de
f(z)=1z(z-3), 0<|z|<3

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
f(z)=1z(z-3)
no anel 0<|z|<3. Isso envolve desenvolver a função em potências de z (incluindo termo em z^{-1}) e para isso vamos usar frações parciais e a série geométrica.

Passo 2

Vamos fazer a decomposição em frações parciais: buscamos A e B tais que
1z(z-3)=Az+Bz-3
Multiplicando em cima por z(z-3) obtemos
1=A(z-3)+Bz=(A+B)z-3A

Passo 3

Igualando coeficientes, da parte constante vem -3A=1, logo A=-1/3. Da parte de z vem A+B=0, logo B=1/3. Assim
f(z)= -13z+13(z-3)

Passo 4

Para expandir o segundo termo quando |z|<3, note que
1z-3=-13,11-z3
Aqui usamos a forma padrão de série geométrica
11-w=sumn=0^infty w^n(|w|<1)

Passo 5

Substituindo w=z/3 na série geométrica, obtemos
1z-3=-13sumn=0^inftyl(z3r)^n=-sumn=0^inftyz^n3^n+1

Passo 6

Multiplicando por B=1/3 e somando o termo -1/(3z), a série de Laurent fica
f(z)=-13z-sumn=0^inftyz^n3^n+2,0<|z|<3

Resposta

f(z)=-13z-sumn=0^inftyz^n3^n+2,0<|z|<3

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