Encontre a série de Laurent de
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
no anel 0<|z|<3. Isso envolve desenvolver a função em potências de z (incluindo termo em z^{-1}) e para isso vamos usar frações parciais e a série geométrica.
Passo 2
Vamos fazer a decomposição em frações parciais: buscamos A e B tais que
Multiplicando em cima por z(z-3) obtemos
Passo 3
Igualando coeficientes, da parte constante vem -3A=1, logo A=-1/3. Da parte de z vem A+B=0, logo B=1/3. Assim
Passo 4
Para expandir o segundo termo quando |z|<3, note que
Aqui usamos a forma padrão de série geométrica
Passo 5
Substituindo w=z/3 na série geométrica, obtemos
Passo 6
Multiplicando por B=1/3 e somando o termo -1/(3z), a série de Laurent fica