Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
, sabendo-se que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de $ y(x) $ no ponto $ (1, -2) $. O que isso significa? Queremos saber qual é a reta que “encosta” no gráfico de $ y(x) $ exatamente nesse ponto. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para achar a inclinação dessa reta tangente.
Passo 2
Primeiro, a gente tem a equação dada:
Como $ y $ está misturado com $ x $ de forma complicada, precisamos usar a derivação implícita para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, que é a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação em relação a $ x $:
-
Derivando $ 5xy $:
- Usamos a regra do produto: $ \frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y $
- Então, $ \frac{d}{dx}(5xy) = 5 \left( x \frac{dy}{dx} + y \right) $
-
Derivando $ e^{2x + y} $:
- Usamos a regra da cadeia: $ \frac{d}{dx}(e^{u}) = e^{u} \cdot \frac{du}{dx} $, onde $ u = 2x + y $
- Então, $ \frac{d}{dx}(e^{2x + y}) = e^{2x + y} \cdot (2 + \frac{dy}{dx}) $
-
Derivando $ -9x $:
- Simplesmente, $ \frac{d}{dx}(-9x) = -9 $
Passo 4
Juntando tudo, temos:
Agora, queremos resolver essa equação para $ \frac{dy}{dx} $.
Passo 5
Vamos distribuir os termos:
Agora, vamos agrupar os termos com $ \frac{dy}{dx} $ de um lado e os demais do outro:
Passo 6
Isolando $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 7
Agora, precisamos substituir o ponto $ (1, -2) $ na equação para encontrar a inclinação da reta tangente.
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = -2 $:
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos a inclinação da reta tangente, que é $ m = -\frac{1}{6} $, podemos usar a equação da reta:
Onde $ (x_1, y_1) = (1, -2) $.
Substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente é: