Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y(x) no ponto (1,-2), sabendo-se que 5 x y+e^2 x+y=-9 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de $ y(x) $ no ponto $ (1, -2) $. O que isso significa? Queremos saber qual é a reta que “encosta” no gráfico de $ y(x) $ exatamente nesse ponto. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para achar a inclinação dessa reta tangente.

Passo 2

Primeiro, a gente tem a equação dada:
5xy + e^2x + y = -9x
Como $ y $ está misturado com $ x $ de forma complicada, precisamos usar a derivação implícita para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, que é a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a $ x $:
  1. Derivando $ 5xy $:
    • Usamos a regra do produto: $ \frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y $
    • Então, $ \frac{d}{dx}(5xy) = 5 \left( x \frac{dy}{dx} + y \right) $
  2. Derivando $ e^{2x + y} $:
    • Usamos a regra da cadeia: $ \frac{d}{dx}(e^{u}) = e^{u} \cdot \frac{du}{dx} $, onde $ u = 2x + y $
    • Então, $ \frac{d}{dx}(e^{2x + y}) = e^{2x + y} \cdot (2 + \frac{dy}{dx}) $
  3. Derivando $ -9x $:
    • Simplesmente, $ \frac{d}{dx}(-9x) = -9 $

Passo 4

Juntando tudo, temos:
5 ( x dydx + y ) + e^2x + y cdot (2 + dydx) = -9
Agora, queremos resolver essa equação para $ \frac{dy}{dx} $.

Passo 5

Vamos distribuir os termos:
5x dydx + 5y + 2e^2x + y + e^2x + y dydx = -9
Agora, vamos agrupar os termos com $ \frac{dy}{dx} $ de um lado e os demais do outro:
dydx

Passo 6

Isolando $ \frac{dy}{dx} $:
dydx

Passo 7

Agora, precisamos substituir o ponto $ (1, -2) $ na equação para encontrar a inclinação da reta tangente.
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = -2 $:
(1, -2)
Simplificando:
x = 1
y = -2
dydx = -9 - 5(-2) - 2e^2(1) + (-2) 5(1) + e^2(1) + (-2)

Passo 8

Agora que temos a inclinação da reta tangente, que é $ m = -\frac{1}{6} $, podemos usar a equação da reta:
m = -16
Onde $ (x_1, y_1) = (1, -2) $.
Substituindo:
y - y1 = m(x - x1)
(x1, y1) = (1, -2)

Resposta

A equação da reta tangente é:
y = -16x - 116

Exercícios relacionados