Calcule:
lim (x, y) (0,0) y^2+2 xy^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo envolvido é limite em várias variáveis e vamos precisar usar o teste de caminhos distintos para verificar se o limite existe e é único.

Passo 2

Para que o limite de uma função de duas variáveis exista, ele deve ser o mesmo independentemente da trajetória (caminho) usada para chegar ao ponto (0,0). Se encontrarmos dois caminhos que forneçam valores diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Considere o caminho y=0. Substituindo na expressão temos:
y^2+2xy^2-2x = 0^2+2x0^2-2x = 2x-2x = -1
Logo, ao longo de y=0, o limite é -1.

Passo 4

Agora considere o caminho x=0. Substituindo na expressão obtemos:
y^2+2cdot0y^2-2cdot0 = y^2y^2 = 1
Então, ao longo de x=0, o limite é 1.

Passo 5

Como ao longo de y=0 o limite é -1 e ao longo de x=0 é 1, os valores são diferentes. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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