Use a Definição (3.1) para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f em P(a, f(a)). (b) Determine a equação da tangente em P(2, f(2)).
f(x)=4-2 x

Passo 1

O enunciado pede (a) encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x)=4-2x no ponto P(a,f(a)) usando a definição de derivada e (b) determinar a equação dessa reta para a=2. Vamos usar o conceito de derivada como limite do quociente incremental.

Passo 2

Para obter o coeficiente angular m no ponto x=a, usamos a definição
m = f'(a) = limh to 0 f(a+h)-f(a)h

Passo 3

Calculamos f(a+h) e f(a):
f(a+h) = 4 - 2(a+h) = 4 - 2a - 2h,
f(a) = 4 - 2a
Então o quociente incremental é
f(a+h)-f(a)h = (4-2a-2h) - (4-2a)h = -2hh = -2

Passo 4

Tomando o limite quando h to 0 obtemos
m = limh to 0 (-2) = -2
Logo o coeficiente angular da tangente é m = -2.

Passo 5

Para a reta tangente em P(2,f(2)), primeiro calculamos
f(2) = 4 - 2cdot2 = 0
Usamos a forma ponto-inclinação
y - f(2) = m,(x - 2)
substituindo m=-2 e f(2)=0:
y - 0 = -2,(x - 2)
Simplificando:
y = -2x + 4

Resposta

a) m = -2; b) reta tangente: y = -2x + 4.

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