Derive as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função $ f(x) = \left(e^{5x} + \sin(4x)\right) \sec(2x) $. Isso envolve cálculo de derivadas, mais especificamente usando a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais, trigonométricas e como aplicar essas regras juntas.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função $ f(x) $ é um produto de duas funções:
- $ u(x) = e^{5x} + \sin(4x) $
- $ v(x) = \sec(2x) $
Para derivar $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, usamos a regra do produto:
Passo 3
Vamos derivar $ u(x) $ e $ v(x) $ separadamente.
Derivando $ u(x) = e^{5x} + \sin(4x) $:
- A derivada de $ e^{5x} $ é $ 5e^{5x} $ (usamos a regra da cadeia aqui, derivando o exposente).
- A derivada de $ \sin(4x) $ é $ 4\cos(4x) $ (novamente, regra da cadeia).
Então,
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) = \sec(2x) $.
A derivada de $ \sec(kx) $ é $ k \cdot \sec(kx)\tan(kx) $. Então, aplicando isso:
Passo 5
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo:
Passo 6
Podemos simplificar um pouco fatorando $ \sec(2x) $:
Resposta
A derivada da função é: