Derive as funções abaixo:
f(x)=(e^5 x+sen(4 x)) sec (2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função $ f(x) = \left(e^{5x} + \sin(4x)\right) \sec(2x) $. Isso envolve cálculo de derivadas, mais especificamente usando a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais, trigonométricas e como aplicar essas regras juntas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função $ f(x) $ é um produto de duas funções:
  • $ u(x) = e^{5x} + \sin(4x) $
  • $ v(x) = \sec(2x) $
Para derivar $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, usamos a regra do produto:
f(x)

Passo 3

Vamos derivar $ u(x) $ e $ v(x) $ separadamente.
Derivando $ u(x) = e^{5x} + \sin(4x) $:
  • A derivada de $ e^{5x} $ é $ 5e^{5x} $ (usamos a regra da cadeia aqui, derivando o exposente).
  • A derivada de $ \sin(4x) $ é $ 4\cos(4x) $ (novamente, regra da cadeia).
Então,
u(x)

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = \sec(2x) $.
A derivada de $ \sec(kx) $ é $ k \cdot \sec(kx)\tan(kx) $. Então, aplicando isso:
v(x) = sec(2x)

Passo 5

Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos aplicar a regra do produto:
u'(x)
Substituindo:
v'(x)

Passo 6

Podemos simplificar um pouco fatorando $ \sec(2x) $:
sec(2x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = (5e^5x + 4cos(4x)) sec(2x) + 2(e^5x + sin(4x)) sec(2x)tan(2x)

Exercícios relacionados