Determine as derivadas, simplificando o máximo que for possivel.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular as derivadas de duas funções usando regra do poder e simplificar ao máximo. O conteúdo é derivada de funções potenciais, e vamos precisar da regra: para uma função
, temos
. Além disso, vamos usar álgebra de expoentes para reescrever radicais como potências.
Passo 2
Primeiro, considere
. Reescrevendo em potências:
Agora aplicamos a regra do poder em cada termo de
:
Passo 3
A segunda função é
. Primeiro simplificamos o coeficiente e cancelamos fatores:
Em seguida, distribuímos
$$x{1/2}(x{4/3}-3x{1/6})=x{11/6}-3x^{2/3},\quaddividindo porx^{1/3}dáx{3/2}-3x{1/3}.
$$
Passo 4
Logo
Passo 5
Agora derivamos termo a termo usando regra do poder:
Resposta
f’(x)=\frac{2}{3}x{-1/3}-5x{3/2},\quad g’(x)=-6x{1/2}+4x{-2/3}