Determine as derivadas, simplificando o máximo que for possivel.
f(x)=raiz[3]x^2-2 x^2 raizx=2-12 raizx x^43-3 x^163 x^13

Passo 1

O enunciado pede pra calcular as derivadas de duas funções usando regra do poder e simplificar ao máximo. O conteúdo é derivada de funções potenciais, e vamos precisar da regra: para uma função x^a, temos ddxx^a = a,x^a-1. Além disso, vamos usar álgebra de expoentes para reescrever radicais como potências.

Passo 2

Primeiro, considere f(x)=raiz[3]x^2-2x^2raizx. Reescrevendo em potências: f(x) Agora aplicamos a regra do poder em cada termo de f'(x)=23x^2/3-1-2cdot52x^5/2-1=23x^-1/3-5x^3/2:

Passo 3

A segunda função é g(x)=2-12raizx,x^4/3-3x^1/63x^1/3. Primeiro simplificamos o coeficiente e cancelamos fatores:
g(x)=2-4,x^1/2,x^4/3-3x^1/6x^1/3
Em seguida, distribuímos x^1/2 no numerador e subtraímos o expoente 1/3:
$$x{1/2}(x{4/3}-3x{1/6})=x{11/6}-3x^{2/3},\quaddividindo porx^{1/3}dáx{3/2}-3x{1/3}.
$$

Passo 4

Logo
g(x)=2-4l(x^3/2-3x^1/3r)=2-4x^3/2+12x^1/3

Passo 5

Agora derivamos termo a termo usando regra do poder:
g'(x)=0-4cdot32x^1/2+12cdot13x^-2/3=-6x^1/2+4x^-2/3

Resposta

f’(x)=\frac{2}{3}x{-1/3}-5x{3/2},\quad g’(x)=-6x{1/2}+4x{-2/3}

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