O enunciado pede para calcular doze limites de funções que, ao tentar a substituição direta, caem em formas do tipo “não indeterminado” (numerador não nulo e denominador zero) ou do tipo 0/0. Vamos usar três técnicas principais:
observar quando o numerador não anula ao mesmo tempo que o denominador (limite diverge),
fatoração e cancelamento em expressões racionais que dão 0/0,
expansão binomial em diferenças quociente,
multiplicação pelo conjugado em expressões com raízes.
Passo 2
Verificar quando o numerador é não nulo mas o denominador vai a zero. Nesse caso a função tende a \pm\infty e o limite não existe finitamente. Isso acontece somente no primeiro limite.
Passo 3
Para
\lim_{x\to -3}\frac{x^{2}-x+12}{x+3},
o numerador em x=-3 vale
(-3)^{2}-(-3)+12=9+3+12=24\neq0
enquanto o denominador vai a zero. Logo a fração cresce em módulo sem se anular, e a limite não existe (diverge para -\infty pela esquerda e +\infty pela direita).
Passo 4
Limites do tipo 0/0 resolvidos por fatoração e cancelamento:
\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{2-t}-\sqrt{2}}{t}.
Multiplica por \tfrac{\sqrt{2-t}+\sqrt{2}}{\sqrt{2-t}+\sqrt{2}}, o numerador vira (2-t)-2=-t, e o denominador é t(\sqrt{2-t}+\sqrt{2}). Simplificando t dá