Calcule os limites abaixo:
\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-x+12}{x+3} \\\ & \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x+2}{x^{2}-x-6} \\\ & \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(h-5)^{2}-25}{h} \\\ & \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(1+h)^{4}-1}{h} \\\ & \lim _{t \rightarrow 9} \frac{9-t}{3-\sqrt{t}} \\\ & \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2-t}-\sqrt{2}}{t} \end{aligned}
\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-x-12}{x+3} \\\ & \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3 x+2} \\\ & \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x^{2}-1} \\\ & \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(2+h)^{3}-8}{h} \\\ & \lim _{t \rightarrow 2} \frac{t^{2}+t-6}{t^{2}-4} \\\ & \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{x-2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular doze limites de funções que, ao tentar a substituição direta, caem em formas do tipo “não indeterminado” (numerador não nulo e denominador zero) ou do tipo 0/0. Vamos usar três técnicas principais:
  1. observar quando o numerador não anula ao mesmo tempo que o denominador (limite diverge),
  2. fatoração e cancelamento em expressões racionais que dão 0/0,
  3. expansão binomial em diferenças quociente,
  4. multiplicação pelo conjugado em expressões com raízes.

Passo 2

Verificar quando o numerador é não nulo mas o denominador vai a zero. Nesse caso a função tende a \pm\infty e o limite não existe finitamente. Isso acontece somente no primeiro limite.

Passo 3

Para
\lim_{x\to -3}\frac{x^{2}-x+12}{x+3},
o numerador em x=-3 vale
(-3)^{2}-(-3)+12=9+3+12=24\neq0
enquanto o denominador vai a zero. Logo a fração cresce em módulo sem se anular, e a limite não existe (diverge para -\infty pela esquerda e +\infty pela direita).

Passo 4

Limites do tipo 0/0 resolvidos por fatoração e cancelamento:
  1. \displaystyle \lim_{x\to -2}\frac{x+2}{x^{2}-x-6}.
    x^{2}-x-6=(x+2)(x-3),
    então para x\neq -2
    \frac{x+2}{x^{2}-x-6}=\frac{x+2}{(x+2)(x-3)}=\frac1{x-3},
    e em x=-2
    \frac1{-2-3}=-\frac15.
  2. \displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^{2}-x-12}{x+3}.
    x^{2}-x-12=(x+3)(x-4),
    cancelando x+3 fica x-4, que em x=-3 vale -7.
  3. \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3x+2}.
    x^{2}+x-2=(x-1)(x+2),\quad x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2),
    cancelando x-1 \tfrac{x+2}{x-2}, que em x=1 é -3.
  4. \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}.
    x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1),\quad x^{2}-1=(x-1)(x+1),
    fica \tfrac{x^{2}+x+1}{x+1}, que em x=1 é \tfrac{3}{2}.
  5. \displaystyle \lim_{t\to 2}\frac{t^{2}+t-6}{t^{2}-4}.
    t^{2}+t-6=(t-2)(t+3),\quad t^{2}-4=(t-2)(t+2),
    resulta em \tfrac{t+3}{t+2}, que em t=2 vale \tfrac{5}{4}.
  6. \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{4}-16}{x-2}.
    x^{4}-16=(x^{2}-4)(x^{2}+4)=(x-2)(x+2)(x^{2}+4),
    cancelando x-2 e substituindo x=2 (2+2)(4+4)=4\cdot8=32.

Passo 5

Limites do tipo 0/0 resolvidos por expansão binomial:
  1. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(h-5)^{2}-25}{h}.
    Expande (h-5)^{2}=h^{2}-10h+25, então o numerador é
    h^{2}-10h+25-25=h(h-10),
    dividindo por h e passando a h\to0 resulta -10.
  2. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{4}-1}{h}.
    Pelo binômio, (1+h)^{4}=1+4h+6h^{2}+4h^{3}+h^{4}. Tirando 1 e dividindo por h sobra
    4+6h+4h^{2}+h^{3}\xrightarrow{h\to0}4.
  3. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^{3}-8}{h}.
    (2+h)^{3}=8+12h+6h^{2}+h^{3}. Subtraindo 8 e dividindo por h
    12+6h+h^{2}\xrightarrow{h\to0}12.

Passo 6

Limites do tipo 0/0 com raízes, usando conjugado:
  1. \displaystyle \lim_{t\to 9}\frac{9-t}{3-\sqrt{t}}.
    Note que 9-t=(3-\sqrt{t})(3+\sqrt{t}), então
    \frac{9-t}{3-\sqrt{t}}=3+\sqrt{t}\xrightarrow{t\to9}6.
  2. \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{2-t}-\sqrt{2}}{t}.
    Multiplica por \tfrac{\sqrt{2-t}+\sqrt{2}}{\sqrt{2-t}+\sqrt{2}}, o numerador vira (2-t)-2=-t, e o denominador é
    t(\sqrt{2-t}+\sqrt{2}). Simplificando t
    -\frac1{\sqrt{2-t}+\sqrt{2}}\xrightarrow{t\to0}-\frac1{2\sqrt{2}}.

Resposta

  1. Não existe (diverge)
  2. -\tfrac{1}{5}
  3. -10
  4. 4
  5. 6
  6. -\tfrac{1}{2\sqrt{2}}
  7. -7
  8. -3
  9. \tfrac{3}{2}
  10. 12
  11. \tfrac{5}{4}
  12. 32

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