Represente graficamente o domínio da função
dada por:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para representar graficamente o domínio da função
definida por essa relação. Vou listar claramente o que isso significa e o que foi fornecido:
- Temos uma relação entre
, e . - A pergunta é sobre o domínio de
, ou seja, o conjunto de pontos no plano para os quais existe valor real de que satisfaça a equação. - Informação importante extraída do enunciado: a equação envolve um termo
, o que sugere que para um dado pode haver zero, um ou dois valores reais possíveis de .
Passo 2
Isolar
na equação para ver quando
é real.
Reescrevendo,
Aqui eu usei apenas operações algébricas elementares (transpor termos). Agora explique o que isso implica:
é sempre maior ou igual a zero para
real, logo a quantidade do lado direito também precisa ser não negativa para existir
real.
Passo 3
Condição de existência de
real: exigir que o discriminante (o lado direito) seja não negativo.
Isto é equivalente a
Explicando devagar: a desigualdade acima diz que a soma dos quadrados das coordenadas
e
não pode ultrapassar
. Geometricamente, isso descreve todos os pontos do plano cuja distância ao origem é menor ou igual a
.
Passo 4
Interpretar geometricamente a desigualdade encontrada. A condição
representa o disco fechado de raio
centrado na origem do plano
. Em palavras simples: é a região preenchida dentro do círculo de raio
, incluindo a borda onde
.
Dicas visuais para desenhar na prova:
- Trace o círculo de raio
centrado na origem (equação ). - Pinte a região interna a esse círculo (pois a desigualdade é
, então inclui a borda). - Essa região pintada é o domínio pedido.
Passo 5
Observação sobre a relação completa em
e sobre as possíveis funções
:
- A equação original é equivalentemente
que é a esfera de raio
centrada na origem no espaço tridimensional. O domínio que encontramos é simplesmente a projeção dessa esfera sobre o plano
, que é o disco unitário.
- Se quiser escrever
explicitamente em função de e , há duas ramificações:
cada uma definida no mesmo domínio
. Ou seja, a equação define duas funções
e
(hemisfera superior e inferior).