Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por:
(a) x^{2}+y^{2}-1+z^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}-1+z^{2}=0
e pede para representar graficamente o domínio da função z=f(x,y) definida por essa relação. Vou listar claramente o que isso significa e o que foi fornecido:
  • Temos uma relação entre x, y e z.
  • A pergunta é sobre o domínio de f, ou seja, o conjunto de pontos (x,y) no plano para os quais existe valor real de z que satisfaça a equação.
  • Informação importante extraída do enunciado: a equação envolve um termo z^{2}, o que sugere que para um dado (x,y) pode haver zero, um ou dois valores reais possíveis de z.

Passo 2

Isolar z na equação para ver quando z é real.
x^{2}+y^{2}-1+z^{2}=0
Reescrevendo,
z^{2}=1-(x^{2}+y^{2}).
Aqui eu usei apenas operações algébricas elementares (transpor termos). Agora explique o que isso implica: z^{2} é sempre maior ou igual a zero para z real, logo a quantidade do lado direito também precisa ser não negativa para existir z real.

Passo 3

Condição de existência de z real: exigir que o discriminante (o lado direito) seja não negativo.
1-(x^{2}+y^{2})\ge 0.
Isto é equivalente a
x^{2}+y^{2}\le 1.
Explicando devagar: a desigualdade acima diz que a soma dos quadrados das coordenadas x e y não pode ultrapassar 1. Geometricamente, isso descreve todos os pontos do plano cuja distância ao origem é menor ou igual a 1.

Passo 4

Interpretar geometricamente a desigualdade encontrada. A condição
x^{2}+y^{2}\le 1
representa o disco fechado de raio 1 centrado na origem do plano (x,y). Em palavras simples: é a região preenchida dentro do círculo de raio 1, incluindo a borda onde x^{2}+y^{2}=1.
Dicas visuais para desenhar na prova:
  • Trace o círculo de raio 1 centrado na origem (equação \,x^{2}+y^{2}=1).
  • Pinte a região interna a esse círculo (pois a desigualdade é \le, então inclui a borda).
  • Essa região pintada é o domínio pedido.

Passo 5

Observação sobre a relação completa em \mathbb{R}^{3} e sobre as possíveis funções z=f(x,y):
  • A equação original é equivalentemente
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,
que é a esfera de raio 1 centrada na origem no espaço tridimensional. O domínio que encontramos é simplesmente a projeção dessa esfera sobre o plano xy, que é o disco unitário.
  • Se quiser escrever z explicitamente em função de x e y, há duas ramificações:
z=\sqrt{\,1-(x^{2}+y^{2})\,}\quad\text{e}\quad z=-\sqrt{\,1-(x^{2}+y^{2})\,},
cada uma definida no mesmo domínio \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}. Ou seja, a equação define duas funções z=f_{+}(x,y) e z=f_{-}(x,y) (hemisfera superior e inferior).

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}

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