05 . Investigue se o sinal abaixo é periódico. Se for o caso identifique a frequência fundamental do sinal e esboce seu espectro bilateral. Justifique sua resposta.
x(t)=-1+4 \cos \left(1,5 t+\frac{\pi}{2}\right)-2 \operatorname{sen}(3 t+3 \pi / 2)-5 \cos (6 t-\pi / 4)

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Investigar se o sinal é periódico.
  • Se for periódico, identificar a frequência fundamental do sinal.
  • Esboçar (descrever) o espectro bilateral do sinal e justificar a resposta.
O sinal dado é
x(t)=-1+4\cos\!\left(1,5\,t+\frac{\pi}{2}\right)-2\operatorname{sen}\!\left(3t+\frac{3\pi}{2}\right)-5\cos\!\left(6t-\frac{\pi}{4}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há um termo DC: -1.
  • Três componentes harmônicas com as seguintes velocidades angulares (em rad/s):
    • \omega_1=1,5,
    • \omega_2=3,
    • \omega_3=6.
  • Amplitudes e defasagens estão explícitas nas expressões trigonométricas.

Passo 2

Regra básica (critérios de periodicidade):
Cada termo \cos(\omega_i t+\phi_i) (ou \operatorname{sen}) é periódico com período T_i=\dfrac{2\pi}{\omega_i}. Uma soma finita de senóides mais uma constante é periódica se existir um T>0 tal que para todo i
\omega_i T = 2\pi n_i
com n_i inteiros. Equivalentemente, é preciso que as \omega_i sejam múltiplos inteiros de alguma frequência angular fundamental \omega_0:
\omega_i = k_i \omega_0,\qquad k_i\in\mathbb{Z}.
Se tal \omega_0 existe (escolhendo o maior possível, ou seja o máximo divisor comum das \omega_i), então o período fundamental é
T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}.
Observação: o termo DC ( -1) é compatível com qualquer período.

Passo 3

Verificando as velocidades angulares dadas:
\omega_1=1,5,\qquad \omega_2=3,\qquad \omega_3=6.
Note que
\omega_2 = 2\cdot \omega_1,\qquad \omega_3 = 4\cdot \omega_1.
Portanto as três \omega_i são múltiplos inteiros de \omega_0=\omega_1=1,5\\ \text{rad/s}. Isso mostra que existe uma frequência angular fundamental comum e, logo, o sinal é periódico.
O período fundamental é
T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{1,5}=\frac{4\pi}{3}\\ \text{s}.
A frequência (em Hz) associada é
f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1,5}{2\pi}\\ \text{Hz}\approx 0,2387\\ \text{Hz}.

Passo 4

Pequena verificação de minimalidade do período: escrevendo \omega_i=k_i\omega_0 obtemos k_1=1,\\ k_2=2,\\ k_3=4. Como \gcd(1,2,4)=1, o menor inteiro N tal que \omega_0 T = 2\pi N com todos os \omega_i T inteiros é N=1. Portanto T_0=2\pi/\omega_0 é de fato o período fundamental mínimo.

Passo 5

Para construir o espectro bilateral (linhas espectrais discretas) é útil escrever todas as componentes na forma \;A\cos(\omega_k t+\phi_k)\; com amplitude positiva e fase explícita. Primeiro simplificamos o termo em seno:
-2\operatorname{sen}\!\left(3t+\frac{3\pi}{2}\right).
Usando identidades: \operatorname{sen}(\theta+\tfrac{3\pi}{2})=\operatorname{sen}(\theta+\pi+\tfrac{\pi}{2})=-\operatorname{sen}(\theta+\tfrac{\pi}{2}) e \operatorname{sen}(\theta+\tfrac{\pi}{2})=\cos\theta. Assim
\operatorname{sen}\!\left(3t+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos(3t),
e então
-2\operatorname{sen}\!\left(3t+\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos(3t).
Para o último termo:
-5\cos\!\left(6t-\frac{\pi}{4}\right)=5\cos\!\left(6t-\frac{\pi}{4}+\pi\right)=5\cos\!\left(6t+\frac{3\pi}{4}\right),
pois \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta. Assim podemos reescrever o sinal como
x(t)=-1+4\cos\!\left(1,5t+\frac{\pi}{2}\right)+2\cos(3t)+5\cos\!\left(6t+\frac{3\pi}{4}\right).

Passo 6

Relacionando cada termo com os harmônicos de \omega_0=1,5:
  • Primeiro termo harmônico: \omega_1=1,5=\;1\cdot\omega_0 com amplitude A_1=4 e fase \phi_1=\tfrac{\pi}{2}.
  • Segundo: \omega_2=3=\;2\cdot\omega_0 com A_2=2 e \phi_2=0.
  • Terceiro: \omega_3=6=\;4\cdot\omega_0 com A_4=5 e \phi_4=\tfrac{3\pi}{4}.
  • DC: C_0=-1.
Para passar ao espectro exponencial (coeficientes de série de Fourier complexa) usamos a identidade
A\cos(k\omega_0 t+\varphi)=\frac{A}{2}e^{j\varphi}e^{j k\omega_0 t}+\frac{A}{2}e^{-j\varphi}e^{-j k\omega_0 t}.
Portanto cada termo gera dois coeficientes complexos nos harmônicos \pm k:
C_{+k}=\frac{A}{2}e^{j\varphi},\qquad C_{-k}=\frac{A}{2}e^{-j\varphi}.

Passo 7

Calculando os coeficientes não nulos:
  • DC: C_0=-1.
  • Harmônico k=1 ( \omega=+1,5 e -1,5): C_{+1}=\frac{4}{2}e^{j\pi/2}=2e^{j\pi/2}=2j,\qquad C_{-1}=2e^{-j\pi/2}=-2j.Magnitude |C_{\pm1}|=2, fases \angle C_{+1}=\tfrac{\pi}{2}, \angle C_{-1}=-\tfrac{\pi}{2}.
  • Harmônico k=2 ( \omega=+3 e -3): C_{+2}=\frac{2}{2}e^{j0}=1,\qquad C_{-2}=1.Magnitude |C_{\pm2}|=1, fase 0.
  • Harmônico k=4 ( \omega=+6 e -6): C_{+4}=\frac{5}{2}e^{j3\pi/4},\qquad C_{-4}=\frac{5}{2}e^{-j3\pi/4}.Magnitude |C_{\pm4}|=\tfrac{5}{2}=2,5, fases \pm\tfrac{3\pi}{4}.
Observação: não há harmônicos em k=3 ou outros inteiros além de 0,\pm1,\pm2,\pm4.

Passo 8

Descrição/esboço do espectro bilateral (discreto):
  • Linhas espectrais (impulsos) em \omega = 0,\\ \pm 1{,}5,\\ \pm 3,\\ \pm 6 (rad/s).
  • Valores dos coeficientes C_k: C_0=-1;
C_{\pm1}=\pm 2j\quad(\text{ou }|C_{\pm1}|=2,\\ \angle C_{+1}=\tfrac{\pi}{2});
C_{\pm2}=1\quad(\text{ou }|C_{\pm2}|=1,\\ \angle 0);
C_{\pm4}=\frac{5}{2}e^{\pm j3\pi/4}\quad(\text{ou }|C_{\pm4}|=2,5,\\ \angle \pm\tfrac{3\pi}{4}).
  • Por ser sinal real, o espectro é conjugado-simétrico: C_{-k}=C_k^*.
Justificativa final curta: como todas as \omega_i são múltiplos inteiros de \omega_0=1,5 a soma é periódica com período T_0=\dfrac{2\pi}{1,5}=\dfrac{4\pi}{3}. O espectro é discreto (linhas) nas harmônicas de \omega_0 mostradas acima.

Resposta

Periódico. \omega_0=1,5\\ \mathrm{rad/s}. T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=\dfrac{4\pi}{3}\\ \mathrm{s}. f_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{1,5}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}.
Espectro bilateral (coeficientes da série exponencial não nulos):
C_0=-1,
C_{+1}=2e^{j\pi/2}=2j,\qquad C_{-1}=2e^{-j\pi/2}=-2j,
C_{+2}=1,\qquad C_{-2}=1,
C_{+4}=\frac{5}{2}e^{j3\pi/4},\qquad C_{-4}=\frac{5}{2}e^{-j3\pi/4}.

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