05 . Investigue se o sinal abaixo é periódico. Se for o caso identifique a frequência fundamental do sinal e esboce seu espectro bilateral. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Investigar se o sinal é periódico.
- Se for periódico, identificar a frequência fundamental do sinal.
- Esboçar (descrever) o espectro bilateral do sinal e justificar a resposta.
O sinal dado é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há um termo DC:
. - Três componentes harmônicas com as seguintes velocidades angulares (em rad/s):
-
, -
, -
.
-
- Amplitudes e defasagens estão explícitas nas expressões trigonométricas.
Passo 2
Regra básica (critérios de periodicidade):
Cada termo (ou
) é periódico com período
. Uma soma finita de senóides mais uma constante é periódica se existir um
tal que para todo
Cada termo
com
inteiros. Equivalentemente, é preciso que as
sejam múltiplos inteiros de alguma frequência angular fundamental
:
Se tal
existe (escolhendo o maior possível, ou seja o máximo divisor comum das
), então o período fundamental é
Observação: o termo DC (
) é compatível com qualquer período.
Passo 3
Verificando as velocidades angulares dadas:
Note que
Portanto as três
são múltiplos inteiros de
. Isso mostra que existe uma frequência angular fundamental comum e, logo, o sinal é periódico.
O período fundamental é
A frequência (em Hz) associada é
Passo 4
Pequena verificação de minimalidade do período: escrevendo
obtemos
. Como
, o menor inteiro
tal que
com todos os
inteiros é
. Portanto
é de fato o período fundamental mínimo.
Passo 5
Para construir o espectro bilateral (linhas espectrais discretas) é útil escrever todas as componentes na forma
com amplitude positiva e fase explícita. Primeiro simplificamos o termo em seno:
Usando identidades:
e
. Assim
e então
Para o último termo:
pois
. Assim podemos reescrever o sinal como
Passo 6
Relacionando cada termo com os harmônicos de
:
- Primeiro termo harmônico:
com amplitude e fase . - Segundo:
com e . - Terceiro:
com e . - DC:
.
Para passar ao espectro exponencial (coeficientes de série de Fourier complexa) usamos a identidade
Portanto cada termo gera dois coeficientes complexos nos harmônicos
:
Passo 7
Calculando os coeficientes não nulos:
- DC:
- Harmônico
( e ): Magnitude , fases , . - Harmônico
( e ): Magnitude , fase . - Harmônico
( e ): Magnitude , fases .
Observação: não há harmônicos em
ou outros inteiros além de
.
Passo 8
Descrição/esboço do espectro bilateral (discreto):
- Linhas espectrais (impulsos) em
(rad/s). - Valores dos coeficientes
:
- Por ser sinal real, o espectro é conjugado-simétrico:
.
Justificativa final curta: como todas as
são múltiplos inteiros de
a soma é periódica com período
. O espectro é discreto (linhas) nas harmônicas de
mostradas acima.
Resposta
Periódico.
.
.
.
Espectro bilateral (coeficientes da série exponencial não nulos):