A função é f(x,y)=\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, definida para (x,y)\neq(0,0).
O ponto de interesse é (0,0).
O que é pedido: saber se existe um número real L tal que f(x,y)\to L quando (x,y)\to(0,0). Se existir, encontrar esse L; se não existir, justificar por que não existe.
Passo 2
Lembrete sobre o conceito de limite em duas variáveis (explicação didática): para que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
seja verdadeiro, o valor de f(x,y) ao nos aproximarmos de (0,0) deve tender a L independentemente da maneira como nos aproximamos (qualquer caminho, qualquer sequência). Uma maneira prática de provar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos de aproximação que levem a valores finais diferentes. Então vamos testar caminhos simples primeiro (retas passando pela origem).
Passo 3
Teste por aproximação ao longo da reta y=kx, com k constante real (essa reta passa por (0,0) para qualquer k). Substituindo y=kx em f (e supondo x\neq0) obtemos:
Isso mostra que, ao aproximar (x,y)\to(0,0) ao longo da reta y=kx, o valor de f(x,y) é exatamente \dfrac{k}{1+k^{2}} (independente de x desde que x\neq0). Portanto o limite ao longo dessa reta é
Escolhemos dois valores de k que dão resultados diferentes, por exemplo k=1 e k=-1.
Para k=1:
\frac{k}{1+k^{2}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Para k=-1:
\frac{k}{1+k^{2}}=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}.
Como ao aproximar pela reta y=x o valor tende a \dfrac{1}{2} e ao aproximar pela reta y=-x tende a -\dfrac{1}{2}, os limites por esses dois caminhos são diferentes. Pelo critério de independência do caminho, isso implica que o limite em duas variáveis não existe.
Passo 5
Um argumento alternativo e muito direto: use coordenadas polares para ver a dependência angular. Escrevendo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta (com r>0), temos
Note que \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta) depende de \theta e é independente de r. Ao fazer r\to0 (ou seja, (x,y)\to(0,0)), o valor da função fica preso em \cos\theta\sin\theta, que varia conforme o ângulo \theta de aproximação. Como diferentes \theta dão valores diferentes (por exemplo \theta=\pi/4 dá 1/2 e \theta=-\pi/4 dá -1/2), não existe um único L comum a todos os caminhos. Logo o limite não existe.
Passo 6
Complemento útil (mas não suficiente para existência): a função é limitada perto da origem porque, por desigualdade (ou usando 2|xy|\le x^{2}+y^{2}),
Isso mostra que os valores ficam entre -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2}, mas essa limitação não garante existência de limite; o ponto crucial é que o valor depende do ângulo de aproximação, portanto não há único limite.